Г) Система уравнений для получения расчетных формул контактных напряжений

Согласно исходным положениям, изложенным в п. 6.1, и допущениям, сформулированным в подпункте “a” п. 6.3, чтобы получить расчетные формулы контактных напряжений, зависящих от переменной толщины полосы (p_x(h_x), τ_x(h_x), σ_x(h_x)), для каждого участка очага деформации составляют систему из трех уравнений:

первое: дифференциальное уравнение равновесия элемента полосы (см. схему на рис. 6.2,а);

второе: уравнение, выражающее связь касательных напряжений с нормальными, по закону трения скольжения;

третье: уравнение пластичности (на пластических участках) или упругости (на упругих участках).

Так как на всей протяженности очага деформации при холодной прокатке действует закон трения скольжения, в качестве второго уравнения на всех участках (и упругих, и пластическом) может быть принято выражение:

τ_x=μ p_x. (6.21)

В качестве третьего уравнения на первом упругом участке очага деформации может быть принято выражение (6.7), которое применительно к i-й клети будет иметь вид:

(6.22)

В качестве главных нормальных напряжений σ₁, σ₃ по рекомендации А.И. Целикова [1;2] можно приближенно принять: σ₁ = - σ_x; σ₃ = - p_x.

Эта рекомендация является обоснованной, т.к. в теории напряжений сжимающие напряжения считаются отрицательными (что объясняет знаки “минус” при напряжениях σ_x и p_x), а максимальным из сжимающих главных напряжений считается не самое большое по модулю, а, наоборот, - самое маленькое, т.к. оно ближе остальных к оси растягивающих напряжений.

Прокатка тонких широких полос происходит, как правило, с натяжением; возникающие из-за натяжений растягивающие напряжения в полосе уменьшают величину сжимающих напряжений σ_x, по сравнению с сжимающими напряжениями σ_z, направленными поперек движения полосы.

Поэтому вполне логично принять, что σ₁= -σ_x; σ₂ = -σ_z, а самое большое по величине из сжимающих напряжений, которое и обеспечивает пластическую деформацию, играет роль минимального главного нормального напряжения: σ₃ = - p_x.

Подставив указанные значения σ₁ и σ₃ в уравнение (6.22), для первого упругого участка окончательно получим:

(6.23)

(в выражение (.23), подставляются модули (абсолютные величины) p_x и σ_x).

Аналогичное третье уравнение системы для расчета контактных напряжений на втором упругом участке будет иметь вид:

(6.24)

На пластическом участке очага деформации в качестве третьего уравнения используется условие пластичности (6.2), которое для i-й клети непрерывного стана принимает вид:

(6.25)

где σ_ф2i – среднее значение условного предела текучести полосы на пластическом участке, определяемое по формуле (6.19).

Чтобы составить первое уравнение системы, необходимой для расчета контактных напряжений – дифференциальное уравнение равновесия полосы - на каждом участке очага деформации, согласно схеме рис. 6.2,а на расстоянии “x” от начала координат выделяют элемент abdc, имеющий размеры: длину по оси прокатки dx, высоту в сечении bd: h_x, высоту в сечении ac: h_x+dh_x. Углы наклона дуг “ab” и “bc” на первом упругом и пластическом участках равны α/2, на втором упругом участке равны β.

Уравнение равновесия элемента abdc принимают в виде:

ΣX_j = 0, (6.26)

где X_j – проекции сил, действующих, по наружным граням на выделенный элемент. Эти силы вызваны напряжениями на площадках контакта с валками ab, cd и в вертикальных сечениях bd, ac.

Чтобы перейти от напряжений к проекциям сил, надо определить площади всех этих граней, умножить каждое напряжение на площадь соответствующей грани, получив величину силы, а затем вычислить ее проекцию на ось прокатки “x”.

Результаты этих операций показаны в таблице 6.2. Необходимо обратить внимание на знаки проекций сил, вызванных касательными напряжениями τ_x: в зоне отставания они отрицательные, т.к. τ_x направлены противоположно положительному направлению оси “x” (см. схему на рис. 6.2,а), а в зоне опережения – положительные.

Кроме того, проекции нормальных контактных напряжений p_x на втором упругом участке отрицательные, а на всех предыдущих участках – положительные. Это объясняется разным направлением углов α/2 и β, характеризующих контур очага деформации.

Таким образом, из трех уравнений системы, составляемой для получения расчетных формул контактных напряжений, только второе выражение (6.21) – одинаковое для всех участков очага деформации.

Из этого следует, что расчетные формулы p_x(h_x), τ_x(h_x), σ_x(h_x) необходимо получать отдельно для каждого участка очага деформации.

Таблица 6.2

Определение проекций на ось “x” сил, действующих на элемент abdc (рис.6.2)

Грань элемен-та abdc	Участок очага деформации	Площадь грани	Напря-жение	Сила	Проекция силы на ось “x” 3)
ab; cd	первый упругий; зона отставания пластического участка		1)
зона опережения пластического участка
второй упругий, зона опережения
второй упругий, зона отставания2)
bd	все участки, кроме второго упругого
второй упругий
ac	все участки, кроме второго упругого
второй упругий

Примечания: 1) b – ширина полосы.

2) для очагов без нейтральных сечений и с двумя нейтральными сечениями.

3) положительное направление оси x противоположно направлению движения полосы.

д) Решение системы уравнений – получение расчетных формул p_x(h_x), τ_x(h_x), σ_x(h_x)