Модель із трьома змінними. Позначення і гіпотези

Узагальнюючи функцію PRF з двома змінними, ми можемо записати її для трьох змінних таким чином:

,

(5.1.1)

де Y – залежна змінна; Х₂ і Х₃ – пояснювальні змінні, або регресори; u – стохастичний збурююча складова; i – спостереження; для випадку тимчасових рядів замість індексу i використовуєтьсяіндекс t.

У (5.1.1) – складова, що визначає точку перетину. Як завжди, він має середню дію на Y всіх змінних, виключених із моделі, хоча його механічна інтерпретація є середня величина Y при Х₂ і Х₃, що дорівнюють нулю. Коефіцієнти і зазвичай називають частинними регресійними коефіцієнтами.

Ми продовжуватимемо оперувати в рамках схеми класичної лінійної регресійної моделі (CLRM). Зокрема, ми припускаємо, що:

- середня величина дорівнює нулю:

для всіх i;

(5.1.2)

- серійна кореляція відсутня:

;

(5.1.3)

- має місце гомоскадастичність:

;

(5.1.4)

- коваріація і кожної змінної Х дорівнюють нулю:

;

(5.1.5)

- модель коректно специфікована; (5.1.6)

- відсутня точна колінеарність між змінними Х, тобто

відсутній точний лінійний зв’язок між Х₂ і Х₃. (5.1.7)

Крім того, ми припускаємо, що множинна регресійна модель лінійна за параметрами, величини регресорів фіксовані в повторних вибірках і регресори змінюються достатньою мірою.

Логічна обґрунтованість гіпотез (5.1.2) – (5.1.6) та ж, що була наведена в розд. 3.2. Гіпотеза (5.1.7) про відсутність точного лінійного зв’язку між Х₂ і Х_3, відома як гіпотеза про відсутність колінеарності або мультиколінеарності, якщо є можливість існування більше ніж одного лінійного співвідношення, є новою і потребує деякого пояснення.

Відсутність колінеарності означає, що ніяка з пояснювальних змінних не може бути зображена у вигляді лінійної комбінації решти змінних. Це можна пояснити на прикладі діаграми (рис.5.1).

а б

Рис. 5.1. Діаграма, що демонструє відсутність (а) і наявність колінеарності (б)

На рис.5.1 коло Y зображає варіацію залежної змінної Y, а кола Х₂ і Х₃ зображають, відповідно, варіації регресорів Х₂ і Х₃. На рис.5.1, а область 1 зображає варіацію в Y, пояснену за рахунок Х₂, а область 2 – варіацію в Y, пояснену за рахунок Х₃. Області 3 і 4 (рис.5.1, б) зображають варіацію в Y, пояснену через Х₂, а області 4 і 5 – пояснену через Х₃. Але, оскільки область 4 є загальною для Х₂ і Х₃, ми не можемо назвати а priori, яка частина 4 належить Х₂, а яка – Х₃. Загальна область 4 представляє випадок колінеарності. Гіпотеза відсутності колінеарності вимагає відсутності перекриття між Х₂ і Х₃, тобто загальна область 4 повинна бути нульовою. Іншими словами, ми хочемо мати справу із ситуацією, зображеною на рис.5.1, а.

Формально відсутність колінеарності означає, що немає таких чисел і , які одночасно не є нулями, що

.

(5.1.8)

Якщо ж подібне лінійне співвідношення виконується, тоді говорять, що Х₂ і Х₃ колінеарні або лінійно залежні. Якщо ж (5.1.8) виконується тільки при і , то говорять, що Х₂ і Х₃ лінійно незалежні.

Так, якщо

або ,

(5.1.9)

то дві змінні лінійно залежні, і якщо обидві вони включені в регресійну модель, ми матимемо точну колінеарність або точну лінійну залежність між двома змінними.

Припустимо тепер, що . Чи буде при цьому порушена гіпотеза відсутності колінеарності? Ні, оскільки зв’язок між регресорами нелінійний і не порушується вимога про відсутність лінійного зв’язку між регресорами.

Пояснимо обґрунтованість гіпотези відсутності колінеарності на прикладі. Припустимо, що в (5.1.1) Y, Х₂ і Х₃ представляють витрати на споживацькі товари, дохід і заощадження покупця відповідно. Постулюючи лінійний зв’язок між споживацькими витратами, доходом і заощадженнями, економічна теорія припускає, що дохід і заощадження мають деякий незалежний вплив на витрати. Якщо це не так, то не має сенсу включати їх у модель по окремості. На противагу цьому, якщо існує точна лінійна залежність між доходом і накопиченням, то ми маємо всього одну незалежну змінну, а не дві, і немає способу оцінити роздільний вплив на витрати доходу і заощаджень. Для більшої виразності покладемо в регресійній моделі «витрати-прибуток-заощадження». Тоді (5.1.1) можна подати у вигляді

,

(5.1.10)

де . Тобто ми фактично маємо регресійну модель із двома змінними, а не з трьома. Крім того, якщо ми застосовуємо (5.1.10) і отримаємо a, то не зможемо оцінити роздільний вплив Х₂ (=b₂) і Х₃ (=b₃) на Y.

Підводячи підсумки зазначимо, що гіпотеза про відсутність мультиколінеарності вимагає, щоб у функцію PRF включали тільки ті змінні, які не є лінійними функціями деяких інших змінних моделі.