Доверительный интервал

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Будем считать постоянным числом. Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если >0 и

, то чем меньше , тем оценка точнее.

Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству ; можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство .

Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что , равна :

.

Заменив неравенство | равносильным ему двойным неравенством, получим:

.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .