РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ

Тензор напряжений может быть разложен на два тензора – шаровой и де­виатор , т.е. . Их компоненты связаны зависимостью

,

где .

Главные значения девиатора напряжений определяются из решения кубического уравнения, полученного при раскрытии определителя:

,

,

где

;

;

.

При изучении сплошного напряженного состояния важное значение имеет октаэдрическое касательное напряжение , интенсивность нормальных и касательных напряжений, которые определяются по выражениям в главных осях:

,

,

.

Задачи

4.1 Показать запись второго инварианта девиатора напряжений через его глав­ные зна­чения.

4.2 Определить величину первого инварианта девиатора напряжений .

4.3 Разложить тензор напряжений для линейного напряженного состояния:

а) растяжение;

б) сжатие.

Дать схемы главных напряжений для тензора напряжений, шарового тен­зора и де­виатора.

4.4 Записать тензор напряжений, когда тело в процессе деформирования испы­тывает только упругое изменение объема, а изменения формы не происхо­дит.

4.5 Записать тензор напряжений, когда тело в процессе деформирования испы­тывает только изменение формы, а упругого изменения объема не происхо­дит.

4.6 Объяснить, почему составляющая девиатора напряжений в направлении главной оси 1 будет положительной, а в направлении главной оси 3 – отрицатель­ной.

4.7 Для некоторой точки тела известен тензор напряжений .

Разложить его на шаровой тензор и девиатор, посчитать инварианты тензора.

Решение. Найдем компоненты шарового тензора

.

Определим компоненты девиатора

.

Инварианты тензора будут следующие:

;

;

.

4.8 Разложить тензоры напряжений (МПа)

, ,

,

на шаровые и девиаторы; определить значения второго инварианта девиатора.

4.9 Два тела из одинакового материала испытывают однородное напряжен­ное состоя­ние. Известен тензор напряжений для однородного тела

.

Составить тензор для второго тела, если известно, что относительное из­мене­ние объема обоих тел одинаково, а девиатор для второго тела

.

Определить также главные значения полученного тензора.

4.10 Для точки тела известны девиатор напряжений

и одно из нормальных напряжений, например МПа. Определить тензор на­пряже­ний.

4.11 Для точки тела известен первый инвариант тензора напряжений МПа и девиатор напряжений

.

Определить главные значения девиатора напряжений, а через них и глав­ные нор­мальные напряжения. Записать тензор напряжений.

4.12 Напряженные состояния записываются в виде тензоров:

, .

Разложить их на шаровые тензоры и девиаторы, определить их значение из условия равенства нулю одного из главных значений девиатора напряжений.

4.13 В теории пластичности широко используется показатель

,

где .

Рассмотреть его значения для следующих частных случаев:

а) линейное растяжение;

б) линейное сжатие;

в) двустороннее растяжение при ;

г) двустороннее сжатие при ;

д) чистый сдвиг, когда .

Достаточно ли этого показателя, чтобы полностью охарактеризовать на­пряженное состояние?

4.14 Показать различные варианты записи через отношения напряжений.

4.15 Главные компоненты тензора напряжений могут быть представлены сле­дующим образом:

, , ,

где , и т.д.

Какие значения принимают , , и для случаев, указанных в за­даче 4.12.

4.16 В каких случаях напряженное состояние может быть полностью охарактери­зо­вано отношением двух напряжений ?