ГЛАВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ОКТАЭДРИЧИСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ.

Задачи

1.1 Даны два симметричных тензора второго ранга:

, .

При каком значении тензоры A и B равны между собой? Чему при этом равны а, б, в?

1.2 Записать в развернутой форме статические уравнения равновесия сил

.

Решение. Индекс - немой, принимает все возможные значения 1,2,3 и по нему проводим суммирование. Если выбрано и зафиксировано определенное на­правление, то индекс не меняется. Например, если выбрано направление , то везде . В декарто­вой системе координат , в то время как пробегает значения , , . Приняв после­довательно , получим уравнения равнове­сия сил для всех направлений:

: ,

: ,

: ,

или в декартовых координатах:

,

,

.

1.3 В трехмерном пространстве расшифровать уравнение

.

Решение. В одночлене два немых индекса и . Следовательно прово­дится двой­ное суммирование:

,

.

В начале провели суммирование по индексу ( ), затем по индексу ( ).

1.4 Записать в развернутой форме следующие тензорные символы:

, , , .

1.5 Найти значения выражений, содержащих символ Кронекера:

, , , , , .

1.6 Записать в развернутом виде:

, .

1.7 Известно, что составляющие полного напряжения на наклонной площадке в прямо­угольной системе координат , , записываются следующим образом (уравне­ния Коши):

,

,

.

Записать их в тензорном обозначении.

Решение. Из последнего равенства видно, что индекс " " относится к и стоит пер­вым в обозначении напряжений. Предположим, что мы обозначили его через " ". Второй индекс входит в выражение напряжений и направляющих косину­сов. Обозначим его " ". Следовательно, в тензорном обозначении указан­ные уравнения можно представить так:

.

Таким образом, при , .

1.8 Нормальное напряжение на наклонной площадке записывается в виде

или

.

Дать тензорную запись этих уравнений, приняв , , .

1.9 Первый и второй инварианты тензора напряжений имеют вид

,

.

Представить их в тензорном обозначении.

1.10 Представить следующие формулы в тензорном обозначении:

,

,

.

1.11 Определить ранг тензорных величин

, , , .

1.12 В системе координат , , задан вектор . Определить его компо­ненты в новой системе координат , , , направление осей которой задано табл.1 направляющих косинусов:

Таблица 1

Решение. На основании формулы (1) имеем:

,

,

.

В системе координат , , вектор записывается следующим образом:

.

1.13 В системе координат , , задан вектор . Определить ком­по­ненты в новой системе координат , , , полученной поворотом вокруг оси на угол . Табл.2 направляющих косинусов имеет вид:

Таблица 2

1.14 Для тензора второго ранга

.

Определить компоненты в системе координат , , , заданной табл.3 направляю­щих косинусов.

Таблица 3

Решение. По формуле (2):

и т.д.

В результате

.

1.15 В системе координат , , задан симметричный тензор второго ранга:

,

где по главной диагонали Ф – число букв в фамилии, И – число букв в имени, О – число букв в отчестве сту­дента.

Определить его компоненты в новой системе координат , , , получен­ной пово­ротом вокруг оси на угол , направление осей которой задано табл.2 направляю­щих косинусов в задаче 1.13.

2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЗА­ДАННОЙ ТОЧКИ

Напряженное состояние в точке деформируемого твердого тела характери­зуется шестью числами и может быть описано симметричным тензором второго ранга – тензо­ром напряжений.

,

где , , – нормальные напряжения, , , – касатель­ные напряжения. Первый индекс соответствует координатной оси, перпендику­лярной к пло­щадке, на которой действует данное напряжение, а второй – оси, вдоль которой оно на­правлено. Поскольку у нормальных напряжений оба индекса одинаковы, то для них при­меняют и одномерную индексацию: , , .

Если внешняя нормаль к площадке совпадает по направлению с положи­тельным направлением соответствующей оси, то напряжение считается положи­тельным, если оно направлено вдоль положительного направления оси, вдоль ко­торой оно действует.

Полное напряжение на произвольной наклонной площадке:

,

где , , – проекции полного вектора напряжений на оси , , соответст­венно.

Нормальное напряжение на произвольной наклонной площадке:

,

где , , – направляющие косинусы, определяющие ориентацию площадки в простран­стве.

.

Полное касательное напряжение на произвольной наклонной площадке на­ходится по правилу параллелограмма:

.

Уравнения, связывающие проекции на оси координат вектора полного на­пряжения, и напряжения, действующие на трех взаимно перпендикулярных пло­щадках:

,

,

.

Компоненты напряжений связаны между собой дифференциальными уравнениями равновесия, которые в декартовой системе координат имеют вид:

;

;

;

где X, Y, Z – проекции объемных сил на оси координат; - плотность металла.

Задачи

2.1 Цилиндрический образец диаметром 10 мм подвергнут равномерному рас­тяже­нию силой 10 кН. Определить напряжения, действующие внутри образца.

2.2 Напряженное состояние в точке задано следующими составляющими, кг/мм²:

, , , , , .

Записать тензор напряжений в системе СИ.

2.3 На рис. 2 показаны напряжения в декартовой и цилиндрической системах коорди­нат. Провести индексацию напряжений и записать их в форме тензора на­пряжений.

Рис. 2

2.4 На рис. 3 показаны различные случаи напряженного состояния в телах. Про­вести обозначение компонент напряжений, записать их в форме тензора на­пряжений, указать возможные нагружения тел внешними силами.

Рис. 3

2.5 Найти ошибки в записи тензора напряжений:

, , .

2.6 Напряженное состояние в некоторой точке тела задано тензором напряжений:

.

Размерность компонент тензора приведена в МПа. Для площадки, нормаль к кото­рой определяется направляющими косинусами , , найти полное , нормаль­ное и касательное напряжения.

Решение.Известно, что , откуда

.

Тогда по формулам Коши:

МПа,

МПа,

МПа.

Полное напряжение:

МПа.

Нормальное напряжение:

МПа.

Касательное напряжение:

.

2.7 Напряженное состояние в некоторой точке тела задано тензором напряже­ний:

.

Определить значения полного, нормального и касательного напряжений на пло­щадке с направляющими косинусами , , .

2.8 Напряженное состояние в точке тела задано в виде тензора:

.

Определить значения полного, нормального и касательного напряжения на пло­щадках, если:

а) , ;

б) , .

Сделать вывод по задаче.

2.9 Определить значения полного, нормального и касательного напряжений по дан­ным табл. 4.

Таблица 4

2.10 В точке тела на его границе (направляющие косинусы , , заданы) из­вестны компоненты внешнего нагружения , . Кроме того, из­вестно, что возле заданной точки внутри тела .

Вычислить остальные компоненты напряжений.

2.11 Напряженное состояние в точке тела задано тензором:

,

где , , – константы.

Определить их значения из условий, когда на площадке с направляющими косину­сами , , вектор полного напряжения равен нулю.

2.12 Напряженное состояние в точке тела задано тензором:

.

Определить значение из условия, при котором на равнонаклонной пло­щадке нор­мальное напряжение .

2.13 В задаче 2.12 изменить условия для определения , считая, что полное на­пряже­ние , а .

2.14 В задаче 2.12 изменить условия для определения , считая, что нормаль­ное напря­жение .

2.15 Построить эпюры нормальных и касательных напряжений в сечениях, на­клонных к оси цилиндрического тела, с шагом 15º, подвергаемого растяжению си­лой Q (кН), где – номер группы (табл.5), – номер студента в списке по алфавиту в составе группы. Дать их анализ.

Таблица 5

2.16 Составить уравнение равновесия всех сил, действующих на выделенный элемент (рис. 4), в радиальном направлении.

Рис. 4

2.17 Задано напряженное состояние в точке тела:

.

Определить, удовлетворяются ли условия равновесия?

2.18 Рассчитать компоненты массовых сил , , , если в любой точке сплош­ной среды выполняются уравнения равновесия, когда тензор напряжений задан в виде:

.

2.19 Записать тензор напряжений для тонкостенной трубы, подвергаемой

одновременному растяжению и кручению.

ГЛАВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ. ОКТАЭДРИЧИСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ.

Главные нормальные напряжения выделяют из условия равенства опреде­лителя нулю

.

Отсюда

, (3)

где ,

,

.

Решая кубичное уравнение (3), получаем три главных нормальных напря­жения , и , которые располагаются следующим образом:

.

Коэффициенты , , называются инвариантами тензора на­пряже­ний и их значения не зависят от выбранной системы координат.

При решении методом Кардано подстановкой

кубичное уравнение (1) приводится к виду

, (4)

где , .

Если дискриминант приведенного уравнения (4) отрицателен, то все корни вещест­венные

,

, , ,

где .

Если кубичное уравнение можно разложить на линейное и квадратное уравнения, то задача определения главных нормальных напряжений упрощается:

;

, ;

, .

Каждому главному нормальному напряжению будет соответствовать глав­ная ось, для которой направляющие косинусы находятся их решения системы уравнений:

(5)

Сюда добавляется условие:

. (6)

Для определения положения главных осей в два из трех уравнений сис­темы (5) подставляются значения главных напряжений ( , , ), а в качестве третьего использу­ется (6).

Максимальные касательные напряжения подсчитываются по формулам

, , .

При наибольшим из них будет .

Октаэдрической является площадка, которая равно наклонена к главным направле­ниям напряжений. Октаэдрическое нормальное напряжение

,

а октаэдрическое касательное напряжение в главных осях

или в произвольных осях

.

Задачи

3.1 Записать тензор напряжений через его главные значения для следующих случаев:

а) линейное напряженное состояние;

б) плоское напряженное состояние (рассмотреть возможные случаи);

в) объемное напряженное состояние (рассмотреть возможные случаи).

3.2 Напряженное состояние в точке тела задано одним из следующих тензо­ров:

, , ,

, , .

Определить главные нормальные напряжения и направления главных осей. Затем в тензорах изменить "+" на "-" и сделать вывод.

Решение.

.

Для определения главных нормальных напряжений через заданные значения компонент напря­жений в произвольной системе координат составим определитель

.

Раскроем его по первой строке

.

Получим кубическое уравнение в виде произведения линейного и квадрат­ного уравнений

.

Тогда

, ,

,

отсюда , .

Таким образом, наблюдается случай линейного растяжения. При подста­новке получаем следующую систему для определения , , , описы­вающих положе­ние главной оси 1 в пространстве:

откуда .

Для уравнения сводятся к виду

Их недостаточно для однозначного определения второй и третьей главных осей. Следовательно, любая пара взаимно перпендикулярных осей, перпендику­лярных направ­лению от , может служить главными осями. Это очевидно из понятия линейного рас­тяжения.

3.3 Найти главные значения напряжений и направления главных осей тензора напряжений

(МПа).

Решение. Составим определитель и раскроем по третьей строке:

.

.

Отсюда МПа, МПа, МПа.

Определим направление главных осей.

Для ,

,

,

.

Решая эту систему, получаем .

Из условия найдем .

Для МПа,

,

,

.

Решая эту систему, получаем , .

Для МПа,

,

.

Тогда , .

3.4 Напряженное состояние в точке, отнесенное к системе декартовых координат, записано в виде тензора.

.

Величина составляющих тензора дана в . Нужно вычислить величину и направление главных напряжений.

Решение. Одну составляющую главных напряжений можно определить сразу же из данного тензора, а именно . Нормальные составляющие напряжения можно получить из первых двух уравнений, когда .

Тогда, определяя коэффициенты направляющих косинусов и задавая определитель равным нулю, получим

,

,

,

.

Отсюда

,

Направляющие косинусы можно определить из записи тензора напряжений. В данной задаче видно, что

, ,

,

и

.

Возведя в квадрат последнее уравнение и определив одновременно направляющие косинусы, получим

, ,

.

Таким же образом находим

,

, ,

, .

3.5 На рис. 5 показаны три взаимно перпендикулярные плоскости, проходя­щие через рассматриваемую точку, с действующими на них напряжениями. Вы­числить главные напряжения.

Рис. 5

Рис. 6

3.6 Для заданного напряженного состояния (рис. 6), представляющего собой по­ложе­ние трех чистых сдвигов во взаимно перпендикулярных плоскостях, опре­делить главные нормальные напряжения и максимальные касательные напряже­ния, если и МПа.

Решение.Для определения главных нормальных напряжений можно вос­пользо­ваться кубическим уравнением (3). После подстановки компонент напряже­ний получаем следующее кубическое уравнение:

,

где , , .

По условию МПа, тогда

.

Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители:

.

Приравнивая к нулю первый сомножитель, находим один из корней уравне­ния МПа.

Решив квадратное уравнение

,

найдем остальные два корня: МПа или МПа, МПа.

С учетом правила индексов для главных напряжений МПа, МПа, МПа.

Максимальное касательное напряжение

МПа.

3.7 На рис. 7 приведены различные напряженные состояния в главных осях. Дать обо­значения главных нормальных напряжений; указать вид напряженного состояния; показать площадки, на которых действуют максимальные касательные напряжения, обо­значить их.

Рис. 7

3.8 Напряженное состояние в точке тела задано одним из следующих тензо­ров:

, ,

, .

Определить главные напряжения и направления главных осей.

3.9 Для плоского напряженного состояния ( ) вывести фор­мулы для оп­ределения главных нормальных напряжений. Для этого случая запи­сать также формулы максимальных касательных напряжений.

3.10 Вычислить величины максимальных и октаэдрических касательных напря­жений, если напряженное состояние задано одним из следующих тензоров:

, , .

3.11 Найти выражения для расчета линейного, квадратного и кубического инва­риан­тов тензора напряжений в главных осях для следующих случаев:

а) линейное напряженное состояние;

б) плоское напряженное состояние;

в) объемное напряженное состояние.

3.12 Вычислить главные значения и инварианты симметричного тензора напря­жений

.

3.13 Главные нормальные напряжения в данной точке тела приведены в таб­л. 6:

Таблица 6

Присвоить численным значениям обозначения , , и вычислить макси­маль­ные касательные напряжения , , .

3.14 Доказать, что .

3.15 Определить главные напряжения и направления главных площадок, если напряжен­ное состояние в точке задано следующими компонентами: МПа, МПа, МПа, МПа, МПа, МПа.

Решение.

1) Определяем инварианты заданного напряженного состояния:

МПа;

МПа;

МПа.

2) Определяем коэффициенты уравнения (4):

, .

Определим дискриминант приведенного уравнения:

.

Так как дискриминант отрицателен, значит все корни приведенного уравне­ния ве­щественные.

3) Вычисление величин главных напряжений. Для решения проведенного уравне­ния применим формулу Кардано:

, , ,

где ;

; ; ;

, , .

Окончательно получим:

МПа,

МПа,

МПа.

Проверка правильности вычисления главных напряжений: так как , и – инва­рианты, значит их значения постоянны. Ранее были получены их значения в заданной системе координат. Сейчас же найдем их значения в главной системе координат:

МПа;

МПа;

МПа.

Результаты вычислений , и в рамках допустимых отклонений совпа­дают с ре­зультатами, полученными в п. 1 решения.

4) Определяем направляющие косинусы главных площадок. Система урав­нений для определения , , имеет следующий вид:

Решение этой системы: , , . Условия про­верки выполняются: .

Система уравнений для определения , , имеет следующий вид:

Решение этой системы: , , . Условия про­верки вы­полняются: .

Система уравнений для определения , , имеет следующий вид:

Решение этой системы: , , . Условия про­верки выполняются: .

3.16 Определить главные напряжения методом Кордано и направления главных напряжений, если напря­женное состояние в точке нагруженного тела задано тензором напря­жений.

,

где по главной диагонали Ф – число букв в фамилии, И – число букв в имени, О – число букв в отчестве студента.

3.17 Пластинка под действием главных нормальных напряжений и растягивается по двум взаимно-перпендикулярным направлениям. Определить нормальное и касательное напряжение на площадке с нормалью .

3.18 Тонкая пластинка равномерно растягивается по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Определить нормальные и касательные напряжения на любой площадке с нормалью , приняв .

3.19 Тонкая пластинка в одном направлении сжимается, в другом растягивается, причем . Определить нормальные и касательные напряжения на площадках, наклонных к сторонам пластинки под углом .

3.20 В точке тела имеется следующая система напряжений МПа, МПа. Определить нормальное, касательное и полное напряжения на октаэдрических площадках, проведенную через данную точку.