Дифференциал функции.

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать

, (2.12)

где α→0 при ∆х→0.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых: и , являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

. (2.13)

Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции ∆y. Дифференциалом функции в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):

(2.14)

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции .

Так как , то, согласно формуле (2.1), имеем , т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

. (2.15)

Поэтому формулу (2.14) можно записать так:

, (2.16)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2.16) следует равенство

. (2.17)

Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Пример 2.13

Найти дифференциал функции .

Решение:

По формуле находим

Пример 2.14. Найти дифференциал функции . Вычислить при .

Решение: .

Подставив и , получим .