Понятие дифференциала часто применяется при выполнении приближенных вычислений.

Приращение функции в точке х можно представить в виде:

, (2.19)

где при , или:

. (2.20)

Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получаем приближенное равенство:

, (2.21)

причем это равенство тем точнее, чем меньше .

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула широко применяется в вычислительной практике.

Пример 2.15.Найти приближенное значение приращения функции при и .

Решение: Применяем формулу , получим:

Итак,

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:

Абсолютная погрешность приближения равна

Подставляя в равенство значения и , получим или . (1)

Формула (1) используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример 2.16. Вычислить приближенно

Решение: Рассмотрим функцию . По формуле (2.19) имеем: ,

т. е. .

Так как , то при и получаем:

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (1) не превышает величины , где М - наибольшее значение х)| на сегменте .

Пример 2.17.Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с. от начала падения. Уравнение свободного падения тела .

Решение: Требуется найти . Воспользуемся приближенной формулой .

. При и , , находим

Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m=20 кг движется со скоростью ν=10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела