Производные элементарных функций

Теорема 1(производная суммы функций). Если в точке х функции и имеют производные, то производная от суммы (разности) этих функций в точке х существует и равна сумме (разно­сти) производных этих функций:

(2.2)

Пример 2.1.Найти у', если .

Решение.

Теорема 2 (производная произведения функций). Если в точке х функции и имеют производные, то в точке х произведение этих функций имеет производную, которая равна сумме произведений одной из данных функций и производной другой

(2.3)

Пример 2.2. Найти у', если .

Решение.Обозначив и будем иметь

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (2.4)

Теорема 3(производная частного двух функций). Если в точке х функции и имеют производные, причем в точке х функция , то частное этих функций имеет в точке х производную, ко­торая вычисляется по формуле

(2.5)

Пример 2.3.Найти у', если .

Решение.Обозначив и будем иметь

Теорема 5 (производная сложной функции). Если в точке х функ­ция имеет производную , а в точке функция имеет производную , то производная от сложной функции в точке х существует и определяется по формуле:

, (2.6)

где .

Пример 2.4.Найти , если

Решение.Функция - сложная. Во-первых, она – степенная, во вторых – тригонометрическая. Поэтому

Пример 2.5.Найти , если

Решение.

Пример 2.6.Найти , если

Решение.