Возрастание и убывание функций

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции, вспомнив предварительно понятие возрастающей и убывающей функции.

Пусть функция определена на множестве D и пусть – подмножество D.

Определение.Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: то функция называется возрастающей [неубывающей] на множестве .

Определение.Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство: то функция называется убывающей [невозрастающей] на множестве .

Теорема(необходимые условия).

Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то для любого .

Теорема(достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале и для любых , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Пример.Исследовать функцию на возрастание и убывание.

Решение: функция определена на интервале .

.

– нули производной. Определим знак производной на каждом интервале.

при ; при .

Вывод: данная функция возрастает на интервалах ; убывает на интервале .