Определение напряжений в стержнях круглого сечения

Крутящие моменты, о которых шла речь выше, представляют лишь равнодействующие внутренних сил. Фактически в поперечном сечении скручиваемого стержня действуют непрерывно распределенные внутренние касательные напряжения, к определению которых теперь и перейдем.

Рис. 4.4. Рис. 4.5.

Ознакомимся прежде всего с результатами опытов. Если на поверхности стержня круглого сечения нанести прямоугольную сетку, то после деформации окажется (рис. 4.4):

1) прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений и в продольных его сечениях;

2) расстояния между окружностями, например между I и II, не изменятся. Не изменятся длина стержня и его диаметр. Естественно допустить, что каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Можно считать, что радиусы всех поперечных сечений будут поворачиваться на разные углы, оставаясь прямолинейными.

На основании этого можно принять, что при кручении в поперечных сечениях стержня действуют только касательные напряжения.

Для установления закона распределения касательных напряжений по поперечному сечению скручиваемого стержня рассмотрим более детально деформации стержня (рис. 4.4 и 4.6). На рис. 4.6 в более крупном масштабе изображена часть стержня между сечениями I и II и показана одна сторона KN элемента KLMN (см. рис. 4.4).

Угол сдвига для элемента KLMN, лежащего на поверхности стержня, равен отношению отрезка NN' к длине элемента dz (рис. 4.6):

(4.1)

Выделяя мысленно из рассматриваемой части бруса цилиндр произвольного радиуса r и повторяя те же рассуждения, получим угол сдвига для элемента, отстоящего на расстоянии r от оси стержня:

(4.2)

На основании закона Гука при сдвиге имеем

(4.3)