Частотный способ определения симметричных автоколебаний
Базируясь на свойстве фильтра нижних частот линейной части системы (раздел 4.1), ищем периодическое решение нелинейной системы (рис. 4.2). Воздействие на входе нелинейного элемента, приближенно, имеет вид (4.37) с неизвестными α и ω. Задана форма нелинейности и передаточная функция линейной части (4.5).
Производится гармоническая линеаризация нелинейности (4.21), что приводит к передаточной функции
Передаточная функция разомкнутой цепи системы получает вид
Периодическое решение линеаризованной системы (4.36) получается при наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары чисто мнимых корней.
А это по критерию Найквиста соответствует прохождению через точку -1. Следовательно, периодическое решение (4.36) определяется равенством
или
(4.51)
где вычисляется по формуле (4.13).
Уравнение (4.13) определяет искомые амплитуду α и частоту ω периодического решения. Это уравнение решается графически следующим образом. На комплексной плоскости (U, jV) вычерчивается амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части (рис. 4.21), а также обратная амплитудно-фазовая характеристика нелинейности с обратным знаком .
Рис.4.21. АФЧХ линейной и
нелинейной частей
Точка В их пересечения (рис. 4.21) и определяет величины α и ω, причем значение а отсчитывается по кривой , а значение ω — по кривой .
Вместо этого можно пользоваться двумя скалярными уравнениями, вытекающими из (4.13) и (4.51):
(4.52)
, (4.53)
которые также определяют две искомые величины α и ω.
Последними двумя уравнениями удобнее пользоваться в логарифмическом масштабе, привлекая логарифмические частотные характеристики линейной части. Тогда вместо (4.51) и (4.13) будем иметь следующие два уравнения:
(4.54)
(4.55)
На рис. 4.22 слева изображены графики левых частей уравнений (4.54) и (4.55), а справа — правых частей этих уравнений. При этом по оси абсцисс слева частота ω откладывается, как обычно, в логарифмическим масштабе, а справа — амплитуда а в натуральном масштабе.
Рис. 4.22. Графики левых и правых
частей уравнений (4.54) и (4.55)
Решением этих уравнений будут такие значения α и ω, чтобы при них одновременно соблюдались оба равенства: (4.52) и (4.53).
Такое решение показано на рис. 4.22 тонкими линиями в виде прямоугольника.
Очевидно, что сразу угадать это решение не удастся. Поэтому делаются попытки, показанные штриховыми линиями. Последние точки этих пробных прямоугольников М и М1 не попадают на фазовую характеристику нелинейности. Но если они расположены по обе стороны характеристики, как на рис. 4.22, то решение находится интерполяцией — путем проведения прямой ММ1.
Нахождение периодического решения упрощается в случае однозначной нелинейности F(x). Тогда и уравнения (4.53) и (4.54) принимают вид
(4.56)
Решение показано на рис. 4.23.
После определения периодического решения надо исследовать его устойчивость. Периодическое решение имеет место в случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи
Рис.4.23. Нахождение
периодического решения
проходит через точку —1. Дадим амплитуде отклонение . Система будет возвращаться к периодическому решению, если при колебания затухают, а при — расходятся. Следовательно, при характеристика должна деформироваться (рис. 4.24) так, чтобы при критерий
Рис.4.24. Деформация
характеристики
устойчивости Найквиста соблюдался, а при — нарушался.
Итак требуется, чтобы на данной частоте ω было
при
или
Отсюда следует, что на рис. 4.21 положительный отсчет амплитуды α вдоль кривой должен быть направлен изнутри вовне через кривую , как там и показано стрелкой. В противном случае периодическое решение неустойчиво.
Пример 4.13. Пусть в следящей системе (рис. 4.13) усилитель имеет релейную характеристику (рис. 1.3). На рис. 4.17 для нее показан график коэффициента гармонической линеаризации , причем . Для определения периодического решения частотным способом, согласно рис. 4.21, надо исследовать выражение
Из формулы (4.24) получаем для данной нелинейности
График этой функции изображен на рис. 4.25.
Передаточная функция линейной части, согласно примеру 4.1 раздела 4.3, имеет вид
Амплитудно-фазовая характеристика для нее приведена на рис. 4.26. Функция же , являясь в данном случае вещественной (рис. 4.25), укладывается вся на отрицательной части вещественной оси (рис. 4.26). При этом на участке изменения амплитуды амплитуда отсчитывается слева извне внутрь кривой , а на участке — в обратную сторону. Следовательно, первая точка пересечения (α1) дает неустойчивое периодическое решение, а вторая (α2) — устойчивое (автоколебания). Это согласуется с прежним решением (пример 4.2 раздела 4.3).
Рис.4.25. Функция Рис.4.26. АФЧХ
линейной части
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 573;