Метод точечного преобразования

Изложенный выше метод припасовывания связан со сложностями увязывания начальных условий каждого участка с получаемыми данными в конце предыдущего участка. Метод точечного преобразования представляет собой усовершенствование метода припасовывания с при­влечением геометрических представлений в фазовом пространстве.

Запишем в общем виде уравнения динамики нелиней­ной системы второго порядка без внешнего воздействия:

(3.14)

На фазовой плоскости (х, у) возьмем какой-нибудь отре­зок линии АВ, который пересекается фазовыми траекто­риями в одном направлении (рис. 3.4). Обозначим через s координату произвольной точки на отрезке АВ, отсчи­тываемую вдоль дуги АВ от начала А.

Пусть решение уравнений (3.14) , дает фазовую траекторию, проходящую через точку . Допустим далее, что с увеличением времени t эта фазовая траек­тория снова пересечет отрезок АВ в некоторой другой точке (рис. 3.4). Координату точки по дуге АВ обозначим .

Точка (первого следующего пересечения отрезка АВ той же фазовой траекторией) называется последую­щей по отношению к исходной точке . Зависимость

(3.15)

соответствующая ходу фазовой траектории в силу реше­ния уравнений (3.14), называется функцией последова­ния. Функция последования определяет закон точечного преобразования для данной нелинейной системы.

Определение последующих точек по заданным исход­ным на отрезке АВ и называется точечным преобразова­нием отрезка АВ самого в себя. Ввиду непрерывности расположения фазовых траекторий исходные и последую­щие точки заполняют весь отрезок. Однако каждая точка отрезка АВ не обязательно имеет последующую внутри этого отрезка. Фазовые траектории, пересекающие отре­зок, могут и не возвращаться к нему.

Возможен такой случай, что последующая точка совпадает с исходной , т. е.

(3.16)

При этом мы получаем замкнутую фазовую траекто­рию (рис. 3.4): предельный цикл или кривую, соответ­ствующую особой точке типа «центр», и т. п.

Рис.3.4. Замкнутая фазовая

траекто­рия

Последнее выясняется из хода соседних фазовых траекторий. Случай (3.16) называется точечным преобразованием точки самой в себя. Это неподвижная точка в общем точечном преобразовании отрезка АВ.

Изобразим графически функцию последования (рис. 3.5). Проведем из начала координат наклон­ную прямую под углом 45° (биссектрису координатного угла). Если она пересечется с кривой , то эта точка пересечения даст координату s* (рис. 3.5) замкнутой фазовой траектории.

Ход точечного преобразования прослеживается на этом графике следующим образом. Возьмем исходную точку s правее точки s* (рис. 3.5). Точке s соответствует опреде­ленное значение s' (точка N) на кривой . Таким образом, мы нашли координату последующей точки.

Рис.3.5. Ход точечного

преобразования

Те­перь примем ее за новую исходную точку. Для этого достаточно снести полученную точку N по горизонтали NM (рис. 3.5) на биссектрису. Проведя далее из точки М вертикаль ML, найдем значение координаты новой последующей точки и т. д. Из этого простого построения видно, что в данном случае процесс сходится к предель­ному циклу .

Возьмем теперь исходную точку s левее и точно тем же способом проследим ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис. 3.5. Очевидно, этот про­цесс тоже сходится к тому же предельному циклу . Следовательно, здесь мы имеем устойчивый предельный цикл (автоколебания).

Отсюда условие устойчивости предельного цикла имеет вид

(3.17)

В противном случае, изображенном на рис. 3.6, а (где стрелками показан ход точечного преобразования), полу­чается неустойчивый предельный цикл. На других гра­фиках рис. 3.6 показаны: 1) случай двух предельных циклов, из которых один неустойчивый (а), а второй устой­чивый (б);

а) б)

в) г)

Рис.3.6. Предельные циклы и

виды колебаний

2) случай расходящихся колебаний(в); случай затухающих колебаний(г).

Такого типа графики (рис. 3.5, 3.6) называются ди­аграммами точечного преобразования. Изображение хода точечного преобразования на такой диаграмме эквива­лентно сопряжению начальных и концевых условий сосед­них участков в методе припасовывания. Но производится это специальным и довольно простым геометрическим по­строением. Это будет видно нагляднее на примерах раздела 3.3.

Основным в методе является нахождение функции последования на основе решения уравнений динамики системы (3.14). Найти эту функцию в явной форме не всегда легко. В большинстве случаев бывает легче представить функцию последования в параметрической форме.

Параметрическая фор­ма точечного преобра­зования в качестве параметра содержит вре­мя τ прохождения изо­бражающей точки по фазовой траектории от исходной точки (рис. 3.4) до ее после­дующей . Через этот параметр τ на основа­нии решения урав­нений (3.14) выражаются координаты точек и , а именно

(3.18)

Графики этих функций показаны на (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Устойчивой

предельный цикл

Точка пере­сечения их дает координату замкнутой фазо­вой траектории (предельного цикла), причем абсцисса этой точки определяет период Т соответствующих колебаний системы. Условие устойчивости предельного цик­ла сохраняется в виде (3.17), но с дифференцировани­ем и s по параметру τ в (3.18). Изображенный на рис. 3.8 случай соответствует устойчивому предельному циклу.

Ход точечного преобразования на такой параметриче­ской диаграмме прослеживается следующим образом. Берем некоторую исходную точку на кривой s (рис. 3.7). Перемещаемся по вертикали до кривой , находя тем са­мым последующую точку при том же значении параметра (это будет время движения изображающей точки по фазовой траектории от до на рис. 3.5). Затем найденную последующую точку принимаем за новую ис­ходную, для чего по горизонтали (рис. 3.7) переносим ее на кривую s. После этого переходим снова на кривую уже при новом значении и т. д. Весь ход точечного преобразования показан на рис. 3.7 стрелками.

а) б)

в) г)

Рис. 3.8. Параметрические диаграммы

точечного преобразования

Рис. 3.8 иллюстрирует параметрические диаграммы точечного преобразования для тех же четырех случаев, что и на рис. 3.6.

Пример 3.1. Рассмотрим ту же систе­му, что и при разборе метода припасовывания (раздел 3.1).

Уравнения объекта и регулятора имеют вид

где — гистерезисная релейная характеристика (рис. 1.10). Эту систему уравнений перепишем в виде

(3.19)

На фазовой плоскости (х,у) нанесем линии переклю­чения, соответствующие заданной нелинейной характеристике (рис. 1.10): при , при . Это будут полупрямые П₀ и П₁ (рис. 3.9).

Рис.3.9. Полупрямые П₀ и П₁

Ввиду нечетной симметрии характеристики можно рассматривать только участок фазовой траектории иду­щий от полупрямой П₀ до П₁, так как закон возвращения этой траектории к линии П₀ будет аналогичен. Таким обра­зом, будем рассматривать точечное преобразование полупрямой П₀ в полупрямую П₁ (а не саму П₀ в себя, как ранее). При этом исходная точка имеет последующую .

Пусть в точке будет , а в точке обозначим . На участке фазовой траектории имеем . Поэтому уравнения (3.19) принимают вид

Интегрирование их дает

(3.20)

(3.21)

Используем здесь параметрический способ точечного преобразования. Обозначим ординаты точек и через и соответственно. Закон точечного преобразования будем искать в виде функций , . При началь­ных условиях (точка ): при , , определя­ются произвольные постоянные в (3.20) и (3.21):

В точке имеем , , . Подставляя эти величины в уравнение (3.20), получаем

(3.22)

а подстановка в уравнение (3.21) дает

Из последнего уравнения непосредственно находим

(3.23)

Тогда из (3.22) с учетом (3.23) получим

(3.24)

Формулы (3.23) и (3.24) и являются искомым законом точечного преобразования в параметрической форме.

Построим диаграмму (рис. 3.10) точечного преобра­зования в виде кривых и . (Переменная берется по абсолютному значению, так как она отрица­тельна). Здесь в одном графике отражено все протекание переходного процесса (обозначено стрелками) и периодическое решение — точка пересечения кривых. При этом в переходном процессе найдены последовательные значе­ния ординат и , а также времена τ движения на каждом участке, а в периодическом режиме — амплитуда и полупериод Т.

На рис. 3.11 показаны точки образующей переходных колебаний, взятые из диаграммы точечных преобразований (рис. 3.10).

Дальше эти точки соединяются экспонен­тами (рис. 3.12) согласно уравнению (3.20). Таким обра­зом, в виде единого

простого геометрического построения здесь решается вся задача припасовывания решений по участкам для переменной у.

Рис. 3.10. Диаграмма Рис. 3.11. Точки

точечного преобра­зования образующей

переходных колебаний

Рис.3.12. Соединение Рис. 3.13. Кривая

точек экспонен­тами переходного процесса

Затем, имея длины участков τ₁ τ₂, τ₃, ... и зная, что на границах участков , легко по уравнению (3.21) построить также и кривую переходного процесса для переменной х (рис 3.13, где х* — амплитуда автоколебаний).

Аналогично получается и затухающий процесс (выше точки , рис. 3.10).

Пример 3.2. Возьмем ту же систему (3.19), но с релейной характеристикой общего вида (рис. 1.11). Здесь на фазовой плоскости получаем четыре линии переключения (рис. 3.14). Ввиду нечетной сим­метрии характеристики достаточно рассмотреть участок фазовой траектории , идущий от линии П₀ через П₁ до линии П₂. При этом часть фазовой траектории будет прямолинейная, так как там , и в силу (3.17)

(3.25)

Итак, будем рассматривать точечное преобразование полупрямой П₀ в полупрямую П₂ при условии, что пос­ледующая точка находится на линии П₂. Но суще­ствуют фазовые траектории у которых после­дующая точка находится не на линии П₂, а на отрезке .

Рис.3.14. Четыре линии

переключения на

фазовой плоскости

Следовательно, надо будет также рассмотреть точечное преобразование части полупрямой П₀ и в этот отрезок.

Начнем с первого случая ( ). На участке ,где , имеем решения уравнений (3.19) в виде

(3.26)

В силу начальных условий , , находим

В точке имеем: , , . Поэтому из (3.26) получаем

откуда находим

(3.27)

(3.28)

Используем далее уравнение (3.23) для участка тра­ектории . С учетом начальных условий

(3.29)

найдем произвольную постоянную

(3.30)

В точке имеем , , _. Поэтому из (3.25) получаем

(3.31)

или, согласно (3.30),

(3.32)

Мы получили параметрические выражения (через па­раметр τ₁) ординат исходной у₀ (3.27) и последующей у₂ (3.32) точек. Это позволяет построить диаграмму точеч­ного преобразования в параметрической форме (рис. 3.15). Параметр τ₁ в данном случае обозначает не все время движения от до , а лишь время движения для тра­ектории ( ).

Рис.3.15. Точеч­ное

преобразование в

параметрической форме

Чтобы определить время для всей траектории , решим первое уравнение (3.19) на участке , где . Получим

Из начальных условий (3.29)

Откуда

Или, согласно (3.31)

(3.33)

Зная из диаграммы (рис. 3.15) значения y₂ и τ₁ для каждого шага точечного преобразования, можем по фор­муле (3.33) подсчитать и время τ для этого шага.

Так определяется переходный процесс, когда точка Q₂ находится на линии П₂. Предельное (нижнее) положение исходной точки Q₀, при котором это справедливо, найдет­ся из диаграммы (рис. 3.14) при , как показано штриховой линией. Это будет значение у'₀. Следовательно, при ординате исходной точки Q выражение (3.32) надо заменить другим. Здесь последующая точка Q'₂ (рис. 3.14) определяется абсциссой х₂. Поскольку в точ­ке Q'₂ имеем , то из (3.25) и (3.30) находим

(3.34)

Следовательно, для каждой точки кривой у₀(τ₁), ле­жащей на диаграмме (рис.3.15) ниже точки у₀ берем на оси абсцисс значение τ_1. Для него по формуле (3.28) вычисляем у₁, а затем х₂ (3.34). Если при этом окажется , то процесс заканчивается равновесным состоя­нием системы внутри зоны нечувствительности релейной характеристики.

3.3. Контрольные вопросы к главе 3

1. В чем суть метода припасовывания?

2. Как определяется переходной процесс в методе припасовывания?

3. Как определяются автоколебания в методе припасовывания?

4. Как находится решение трансцендентного уравнения?

5. В чем сложности применения метода припасовывания?

6. В чем суть метода точечного преобразования?

7. Что является основным в методе точечного преобразования?

8. Чем определяется закон точечного преобразования?

9. Как находится функция последования?