Интервальное оценивание

Рассмотренные оценки , как правило, не совпадают с истинным значением параметра a. Следовательно, имеет место некоторая погрешность при замене параметра его оценкой, то есть, , хотя величина этой погрешности неизвестна. Чтобы получить представление о точности и надежности оценки неизвестного параметра a в математической статистике рассматривают оценку

.

Вероятность того, что случайный интервал накроет неизвестный параметр a, равна и называется доверительной вероятностью. Причем, чем меньше будет для заданной вероятности , тем точнее оценка . Заметим, что если , то .

Случайный интервал, определяемый результатами наблюдений, который с заданной вероятностью накрывает неизвестный параметр a, называется доверительным интервалом для параметра a, соответствующим доверительной вероятности .

Пусть задана выборка значений случайной величины x, распределенной по нормальному закону с плотностью , содержащей два неизвестных параметра a и s. По заданной выборке доверительный интервал параметра получается на основе распределения Стьюдента.

Теорема. Если - независимые случайные величины распределенные нормально с математическими ожиданиями a и дисперсиями , то случайная величина имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы.

Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины распределенной по нормальному закону имеет вид:

1) если s - неизвестно, то

, ;

2) если s - известно, то

.

Зная число степеней свободы и доверительную вероятность a параметр (квантиль) находится по таблице, параметр (квантиль) находится из уравнения , где .

Для построения доверительного интервала для дисперсии используют распределение .

Пусть - независимые случайные величины распределенные нормально с , . Случайная величина называется случайной величиной с распределением с степенями свободы.

Доверительный интервал для дисперсии случайной величины распределенной по нормальному закону имеет вид:

.

Значения функции приводятся в таблице.

Пример.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины, представленной выборкой объема , для которой найдены выборочное среднее , если известно, что среднее квадратичное отклонение .

◄ Поскольку для нормально распределенной случайной величины известно среднее квадратичное отклонение, то воспользуемся формулой

,

где параметр (квантиль) найдем из равенства , при условии , получаем

, т.е. .

Составим доверительный интервал

,

,

окончательно получаем

.►