Интервальное оценивание
Рассмотренные оценки , как правило, не совпадают с истинным значением параметра a. Следовательно, имеет место некоторая погрешность при замене параметра его оценкой, то есть,
, хотя величина этой погрешности неизвестна. Чтобы получить представление о точности и надежности оценки
неизвестного параметра a в математической статистике рассматривают оценку
.
Вероятность того, что случайный интервал накроет неизвестный параметр a, равна
и называется доверительной вероятностью. Причем, чем меньше будет
для заданной вероятности
, тем точнее оценка
. Заметим, что если
, то
.
Случайный интервал, определяемый результатами наблюдений, который с заданной вероятностью накрывает неизвестный параметр a, называется доверительным интервалом для параметра a, соответствующим доверительной вероятности
.
Пусть задана выборка значений случайной величины x, распределенной по нормальному закону с плотностью
, содержащей два неизвестных параметра a и s. По заданной выборке доверительный интервал параметра
получается на основе распределения Стьюдента.
Теорема. Если - независимые случайные величины распределенные нормально с математическими ожиданиями a и дисперсиями
, то случайная величина
имеет распределение Стьюдента с
числом степеней свободы.
Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины распределенной по нормальному закону имеет вид:
1) если s - неизвестно, то
,
;
2) если s - известно, то
.
Зная число степеней свободы и доверительную вероятность a параметр (квантиль)
находится по таблице, параметр (квантиль)
находится из уравнения
, где
.
Для построения доверительного интервала для дисперсии используют распределение .
Пусть - независимые случайные величины распределенные нормально с
,
. Случайная величина
называется случайной величиной с распределением
с
степенями свободы.
Доверительный интервал для дисперсии случайной величины распределенной по нормальному закону имеет вид:
.
Значения функции приводятся в таблице.
Пример.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины, представленной выборкой объема , для которой найдены выборочное среднее
, если известно, что среднее квадратичное отклонение
.
◄ Поскольку для нормально распределенной случайной величины известно среднее квадратичное отклонение, то воспользуемся формулой
,
где параметр (квантиль) найдем из равенства
, при условии
, получаем
, т.е.
.
Составим доверительный интервал
,
,
окончательно получаем
.►
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1927;