Призводная по направлению и градиент

Скалярное поле. Производная по направлению и градиент

Скалярное поле

Скалярным полем называется область пространства, каждой точке которого отнесено значение некоторой скалярной величины (величины без направления). Другими словами, скалярное поле – скалярная функция точки в евклидовом пространстве. Так как каждая точка поля может быть определена ее радиусом – вектором , где – единичные базисные векторы (рис. 1), задание скалярного поля эквивалентно заданию некоторой скалярной функции . Скалярное поле в евклидовом пространстве можно рассматривать как обыкновенную функцию трех переменных. Предполагается, что скалярные функции являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз.

Скалярными полями являются, например, поле температуры неравномерно нагретого тела ( – температура), поле плотности неоднородного тела ( – плотность), поле электростатического потенциала и т. п.

Наряду с определенными выше скалярными полями рассматривают также плоскиескалярные поля, т. е. функции , где – радиус-вектор произвольной точки плоскости (пространства ).

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек пространства , удовлетворяющих уравнению , где – произвольная постоянная. Поверхности уровня позволяют представить поле геометрически. Аналогично определяется понятие линии уровня плоского скалярного поля .

Понятие поверхности уровня и линии уровня скалярного поля тождественны понятиям, соответственно, поверхности уровня функции трех переменных и линии уровня функции двух переменных.

Пример. Найти линии уровня плоского скалярного поля .

◄ Приравниваем , где – произвольная постоянная. Отсюда . Кроме того, при =0 из будем иметь или . Таким образом, линиями уровня будут равнобочные гиперболы при и, кроме того, объединение двух координатных осей, образующих отдельную линию уровня. ►

Пример. Найти поверхности уровня скалярного поля , где , .

◄ Приравниваем , где (т. к. ) – произвольная постоянная. Так как , будем иметь , т. е. поверхностями уровня данного скалярного поля будут концентрические сферы радиуса с центром в начале координат.

Призводная по направлению и градиент

Градиентом скалярного поля называется вектор (векторное поле, см. ниже)

. (4.1)

Градиент скалярного поля в каждой точке направлен по нормали к поверхностям уровня этого скалярного поля и показывает направление наибольшего роста функции .

Величиной градиента называют скалярное поле

. (4.2)

Пример. Найти величину градиента скалярного поля в точке .

◄ Находим частные производные функции : , , . Таким образом, . Подставляя в последнее равенство координаты точки , получаем градиент поля в этой точке: . По формуле (4.2) находим величину градиента данного скалярного поля в точке : . ►

Производная по направлению скалярной функции есть скорость изменения функции по отношению к величине перемещения точки вдоль выбранного направления , и может быть найдена по формуле:

. (4.3)

Из этой формулы видно, что производная функции точки по направлению равна проекции вектора градиента на направление . Отсюда, в частности, следует, что в направлениях, перпендикулярных , т. е. касательных к поверхности уровня, производная понаправлению равна нулю.

Пример. Найти производную скалярного поля в направлении вектора .

◄ Так как , функция в координатах точки поля будет иметь вид . Находим частные производные данной функции: , , = . Следовательно, = . По формуле (4.3) находим производную данного скалярного поля по направлению : = . ►