Свойства функции распределения.

 

1 (Это – свойство вероятности, а - вероятность).

2 - неубывающая функция по каждому из своих аргументов. (В самом деле, если , то событие включено в событие , следовательно, его вероятность меньше)

3 (события - невозможные, поэтому их вероятность равна нулю).

4 (событие достоверно).

5 = - - +

       
 
 
   


Геометрически, - площадь

полосы левее и ниже точки ,

Вычитая из нее и ,

мы два раза вычтем площадь

полосы левее и ниже точки .

Для того, чтобы получить

площадь прямоугольника –

левую часть равенства, надо

вычитать эту площадь один раз,

поэтому надо добавить ее, т.е.

в правую часть равенства.

6. непрерывна слева по каждому из аргументов

7. . Так как событие достоверно, то пересечение событий и есть событие . Поэтому первое равенство справедливо. Аналогично доказывается справедливость второго равенства.

Двумерная случайная величина (X,Y) дискретна, если X, Y - дискретные случайные величины. Для нее составляется таблица распределения – аналог ряда распределения для одномерной случайной величины.

  X Y
y1 y2 ….. ym PX
x1 p11 p12 p1m pX1
x2 p21 p22 p2m pX2
…….
xn pn1 pn2 pnm pXn
PY pY1 pY2 pYm  

pnm = , pYm = = p1m+ p2m +…+pnm, pXn = pn1 + pn2 + … +pnm.

График функции распределения для двумерной случайной величины напоминает «лестницу», уровень ступеней которой изменяется скачком на pij при переходе через точку (xi , yj) в положительном направлении по оси OX и по оси OY. Если зафиксировать x = xi, то при увеличении y эти скачки будут на pi1, pi2, … pim (от нуля до pXi ). Если зафиксировать y = yj, то при увеличении x скачки будут на p1j, p2j, … pnj (от нуля до pYj). Нижние ступени (при x x1 и y y1) находятся на нулевом уровне, самая верхняя ступень (при x>xn, y>ym) находится на уровне 1. Если зафиксировать x > xn то при увеличении y эти скачки будут на pY1, pY2, … pYm (от нуля до 1). Если зафиксировать y > ym, то при увеличении x скачки будут на pX1, pX2, … pXn (от нуля до 1).

Пример. Проводятся два выстрела в мишень. При каждом выстреле вероятность попадания p, вероятность промаха q = 1- p. Случайная величина Xi – число попаданий при i – том выстреле. Найдем закон распределения случайного вектора (X1, X2)= .

  X Y
y1=0 y2=1 PX
x1=0 q2 qp pX1=q
x2=1 pq p2 pX2=p
PY pY1=q pY2=p  

 

Построим функцию распределения

. В самом деле, при – событие{X<x,Y<y} - невозможное, при (x>1, y>1) событие {X<x,Y<y} – достоверное.

При событие {X<x,Y<y} представляет собой событие {X=0,Y=0}. Поэтому при F(x) = P{X=0,Y=0}= q2.

При событие {X<x,Y<y} представляет собой объединение несовместных событий {X=0,Y=0} и {X=1,Y=0}. Поэтому при F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=0}= q2 + pq = q(p+q)=q. Аналогично, в случае F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1}= q2 + pq = q(p+q)=q.

 

Двумерная случайная величина непрерывна, если X, Y, непрерывные случайные величины и ее функцию распределения можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла от плотности распределения.

.

Двойной интеграл можно записать в виде повторных (внешний по x, внутренний по y и наоборот). Если предполагать непрерывность плотности по x и y, то, дифференцируя по переменным верхним пределам, получим

Получить!






Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1273; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.013 сек.