Метод ММА для колебательных систем с малыми нелинейностями и потерями при гармоническом силовом воздействии
Общая запись уравнений для неавтономной системы первого порядка при силовом воздействии:
. | (4.18) |
В предельном случае если m ® 0, тогда получаем неоднородное ДУ вида
,
решение которого будет x0(t) = acos(w1t), где амплитуда колебаний
.
Возвращаясь к (4.18) и считая нелинейность слабой, будем искать решение в виде
. | (4.19) |
Подставляя это решение в исходное уравнение, можно записать
.
Видно, что это уравнение вида (3.8). Для возможности применения метода ММА необходимо потребовать, чтобы внешняя сила была мала по амплитуде и имела бы тот же порядок малости, что и малые силы, связанные с нелинейными и диссипативными свойствами системы и возникающие при конечных амплитудах колебаний в ней. В таком случае воздействующую силу можно объединить с этими малыми силами и свести рассмотрение задачи к приближенному исследованию уравнения типа
,
которое отличается от рассмотренного ранее (см. (3.8)) тем, что функция f1 зависит не только от переменной x и её производной, но и явно от времени.
Вводя в исходное уравнение новый масштаб времени t = w1t, получим
.
Вводя обозначение и требуя, чтобы расстройка x была величиной порядка малости m, запишем
.
В правой части этого уравнения малые параметры; обозначив , запишем окончательно
. | (4.20) |
Тогда можно решить это уравнение в соответствии с методом ММА.
В качестве простейшего примера рассмотрим вынужденные колебания в контуре с нелинейным затуханием R(i) = R0(1 + g0i2) (см. рис. 26). Для подобного контура мы можем записать уравнение Кирхгофа в виде
.
Если считать, что собственная частота контура w0 близка к частоте внешней силы w1, то, вводя обозначения
, , , , ,
приходим к уравнению
, | (4.21) |
где
, .
Для применимости метода ММА к решению этого уравнения необходимо потребовать, чтобы выполнялись неравенства: расстройка x << 1, затухание в системе 2h << 1, амплитуда внешнего воздействия P << 1, т. е. чтобы все члены в правой части уравнения были малы по сравнению с членами в левой его части.
Решение будем искать в виде (3.15), тогда, вводя t1 = t + q, получаем следующие укороченные уравнения
После интегрирования имеем
(4.22) |
Стационарные решения находят из укороченных уравнений при условии, что амплитуда и фазовый сдвиг не меняются: , или , , т. е. из системы уравнений
возводя левые и правые части этих уравнений в квадрат и складывая их, получим уравнение
;
оно представляет собой уравнение резонансной кривой для добротного колебательного контура с нелинейным сопротивлением.
При большой нелинейности нельзя предполагать, что решение близко к гармоническому. Мы предполагаем, что есть третья гармоника, т. е. если w1 - частота внешнего воздействия, то 3w1 » w0. Настраиваем контур на эту гармонику и ищем решение (4.20) методом ММА в виде
,
полагая, что
, .
Результат получается достаточно близким к тому, который даёт метод гармонического баланса.
Полученные выше укороченные уравнения позволяют найти не только стационарные амплитуду и фазу вынужденного колебания, но в принципе и закон установления стационарного процесса путём интегрирования системы укороченных уравнений (4.22). В этом, в частности, заключается большая эффективность метода ММА по сравнению с методом гармонического баланса, дающего в принципе только стационарные значения амплитуд.
Дата добавления: 2019-02-08; просмотров: 680;