Применение метода ММА к колебательным системам Вопрос 8
Вернёмся к самому простому RLC резонансному контуру (рис. 22). Колебания в нём описываются следующим уравнением
.
Введём безразмерное время t = w0t; после дифференцирования по этой переменной, получим
, где . | (3.22) |
Будем решать уравнение в форме (3.15), т. е. через амплитуду и фазу. В этом случае, с учётом (3.16), будет
.
Подставляя в укороченные уравнения (3.20) мы получаем
;
.
Эти укороченные уравнения легко интегрируются:
; .
Следовательно, колебательный процесс в контуре описывается функцией
, | (3.23) |
или в размерном времени
. | (3.24) |
Можно, конечно, искать решение уравнения (3.2) методом Лапласа в виде x(t) = X0ept, тогда характеристическое уравнение имеет вид
,
корни которого легко найти
,
т. е. общее решение можно записать так
, где . | (3.25) |
Сравним теперь решения, полученные разными методами - методом ММА и общим методом Лапласа, т. е. (3.24) и (3.25). Как видно, амплитуда меняется одинаково, а частота определена неправильно: метод ММА говорит, что колебания будут с частотой w0, хотя точное решение даёт небольшой сдвиг частоты. Дело в том, что мы сами задаём с самого начала, что колебания будут с частотой w0 введением безразмерного времени, т. е. что заложили, то и получили. Мы можем, в принципе, задавать и произвольную частоту w.
Рассмотрим нелинейный контур с конденсатором с сегнетоэлектриком в пренебрежении затуханием (рис. 19). Запишем (2.20) вместе с (2.19):
.
Введём x = q/q0, где q0 - некоторый заряд, соответствующий ожидаемой максимальной амплитуде колебаний в контуре, тогда наше уравнение примет вид
, где .
Введём новый масштаб времени t = wt, где w не обязательно совпадает с w0. С учётом этой подстановки
.
Вводя обозначение , , получим
.
Учитывая, что мы ограничиваемся случаем |x| << 1 и g << 1 (частота колебаний мало отличается от частоты собственных колебаний), можно, отбрасывая член второго порядка малости, приближённо записать
.
Это уравнение принадлежит к типу , и к нему можно применить метод ММА. Используем вариант с медленно меняющимися амплитудами u и v (представление (3.13)), тогда укороченные уравнения, с учётом (3.9), будут иметь вид
;
.
Так как нет диссипации, то мы можем сказать, что . Это возможно в случае, если x = 0. Из этого следует, что w = w0, т. е. мы теряем неизохронность колебаний (аналогично было в методе последовательных приближений). Таким образом, метод ММА не позволяет найти сдвиг частоты в контуре с квадратичной нелинейностью. Это связано с тем, что метод ММА - метод первого порядка. Чтобы этого избежать, необходимо взять вторые гармоники ряда Фурье.
Рассмотрим колебательный контур с малым нелинейным затуханием, т. е. RLC контур (рис. 22). Рассмотрим колебания с постоянными L и C, но с сопротивлением R(i), зависящим от тока по закону R = R0(1 + g0i2). Это соотношение качественно передаёт зависимость омического сопротивления проводников от протекающего через них тока за счёт их нагрева.
Составим уравнение движения в этом контуре
.
Вводя, как обычно, новые переменные x = q/q0 и t = w0t, где , получим уравнение
, где , .
При малом затухании, когда для приближённого решения задачи можно применить метод ММА. Тогда исходное уравнение удобно записать в виде
.
Используя (3.15) и (3.16) для X и q имеем укороченные уравнения
;
.
Первое из этих уравнений домножим на 2X и сделаем замену y = X2, тогда
.
После преобразований получаем:
.
Это уравнение легко интегрируется:
, или ,
где D - постоянная, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент при t = 0 X(0) = X0, то
.
Полученное соотношение для X выражает закон уменьшения амплитуды колебаний в исследуемом нелинейном контуре, начиная от исходного значения X0.
Отметим также, что, как следует из проведённого рассмотрения, величиной, определяющей ход процесса, является амплитуда колебаний, а фаза колебаний не играет никакой роли. Это обстоятельство вполне понятно, так как характер движения задаётся исходным запасом колебательной энергии, сообщённой контуру вначале процесса, а фаза колебаний никак не определяет ход колебания - соответствующим выбором произвольного для автономной системы начала отсчёта времени фазу можно сделать любой.
Дата добавления: 2019-02-08; просмотров: 738;