Генерация высших гармоник Вопрос 11

Явление, когда появляются высшие гармоники при гармоническом воздействии на нелинейную систему, называется генерацией гармоник.

Рассмотрим, например, колебания в нелинейной консервативной системе с конденсатором с сегнетоэлектриком при достаточно большой амплитуде гармонического воздействия, причём собственная частота малых свободных колебаний системы близка к утроенной частоте воздействия. Для конденсатора с сегнетоэлектриком

.

Уравнение (4.3) будет в этом случае иметь вид:

, где .

(4.13)

При большой нелинейности нельзя предполагать, что решение близко к гармоническому. Можно ожидать появления высших гармоник. Мы допустили, что есть третья гармоника, т. е. если w₁ - частота внешнего воздействия, то w₁ » w₀/3. В этом случае можно ограничиться только первой и третьей гармониками и искать вынужденные колебания в виде

,

тогда получается

.

Оставляя в разложении f(q) в ряд Фурье только члены с cost и cos3t и приближенно положив - f(q) = a₁cost + a₃cos3t, получим систему двух уравнений

;  .

(4.14)

Для выбранного вида нелинейности имеем

(4.15)

Для свободных колебаний системы с нелинейностью (P = 0) из (4.14) получим уравнения

;  .

(4.16)

Здесь w - основная частота свободных колебаний нелинейной системы, заменившая частоту w₁, которая задавалась внешним воздействием. Из последней системы можно найти соотношение между амплитудами гармоник

.

Нетрудно убедиться, что из системы (4.16) можно получить частоту свободных колебаний:

.

Как мы видим, w отличается от w₀ лишь на величину порядка e.

Иначе обстоит дело при наличии воздействия (P ¹ 0). Тогда частота возбуждаемого колебания будет задаваться внешним воздействием. В рассматриваемом случае частота w₀ близка к 3w₁. В результате соотношение между амплитудами основного колебания и его третьей гармоники должно быть совсем иным.

Для определения a₁ и a₃ имеем систему (4.14). Заменяя из (4.16) в первом уравнении a₁ на w²a₁, получаем

,

откуда выражение для амплитуды основной гармоники

.

Здесь мы учли, что w » w₀ (с точностью до величины порядка e), а w₀ » 3w₁.

Рис. 31. Амплитуда третьей гармоники.

Для определения a3 воспользуемся вторым соотношением из (4.14), тогда, подставив его во второе уравнение системы (4.15), получим . Введём относительную расстройку x: , тогда получим уравнение третьей степени относительно a3:

.

Так как e ¹ 0, то на e можно сократить

.

(4.17)

Это решение описывает установившийся процесс. Таким образом, нелинейность зависит от отношения x/e. Зависимость амплитуды третьей гармоники от этого отношения представлена на рис. 31.