Фазовое пространство, представление движения

Движение любой системы описано полностью, если задан закон изменения во времени всех обобщённых координат . Но, задание точи в момент времени t определяет лишь текущее положение системы, но ничего не говорит о её динамике. Через одну точку в координатном пространстве может проходить множество траекторий, которые в данной точке отличаются значениями обобщённых скоростей. Поэтому более наглядно анализировать движение в 2ⁿ-мерном фазовом пространстве .

Выбор любой точки в фазовом пространстве (за исключением нескольких особых точек) в силу теоремы о существовании и единственности решения ДУ вида (1.26) полностью определяет дальнейшее движение системы. Кроме, может быть, особых точек, траектории в фазовом пространстве не пересекаются.

Рассмотрим автономную систему с n степенями свободы. Её ДУ, записанное в форме Коши (1.26), сведётся к виду:

, .

(1.36)

Введём новые переменные , тогда получим каноническое уравнение движения:

(1.37)

Чтобы получить фазовую траекторию, необходимо убрать время в явном виде, тогда исключим из (1.37) dt. Для этого разделим первые 2n - 1 уравнений системы на её последнее уравнение:

(1.38)

Во всех точках фазового пространства, где однозначно определены правые части системы уравнений (1.38), угловые коэффициенты касательных dy_i/dq_n и dq_i/dq_n единственным образом определяют фазовую траекторию. Через каждую такую точку проходит одна траектория, время t играет роль параметра. Через особую точку, где не определены правые части системы уравнений (1.38), может проходить бесконечное множество траекторий, или не проходить ни одной (например, точка равновесия).

Если система неавтономна, то правые части системы уравнений (1.36) зависят ещё и от времени t, следовательно, для анализа движения нужно 2n + 1 расширенное фазовое пространство, в котором есть ось времени.