Уравнение Лагранжа для колебательных систем Вопрос 3

Уравнение движения Лагранжа удобно тем, что уравнение движения записывается в ковариантной форме, т. е. структура уравнения не меняется при переходе к другим координатам.

Любая механическая система описывается уравнением Ньютона:

,

(1.26)

и это самая общая форма записи (форма Коши). Известно, что, если заданы начальные условия

и ,

то решение существует и единственно.

В общем случае на уравнение накладываются связи, уменьшая количество независимых координат:

, где .

(1.27)

Если у нас есть k связей, то только n = m - k координат являются обобщёнными. Выбираем обобщённые координаты q₁, …, q_n так, чтобы их связь с первичными была точечной:

, где .

(1.28)

Допустим, что силы, действующие на систему, являются потенциальными, т. е. существует функция такая, что для каждой силы выполняется равенство

, где .

В этом случае для описания движения в потенциальном поле можно воспользоваться формализмом Лагранжа:

1. Выбираем обобщённые координаты q₁, …, q_n.

2. С помощью уравнения преобразования координат (1.28) записываем выражение для энергии через эти координаты:

.

3. С учётом преобразования обобщённых скоростей

(1.29)

строим выражение для кинетической энергии системы .

4. Составляем лагранжиан системы .

5. Записываем уравнение движения системы в виде:

, где .

(1.30)

Из (1.30) можно непосредственно найти первый интеграл движения:

.

(1.31)

Коэффициенты C_i можно найти из начальных условий.

Лагранжев формализм работает только в потенциальном поле, но, если в системе действуют диссипативные силы Q_i (трение, потери), то в общем случае уравнение Лагранжа выглядит так:

, где .

(1.32)

Простейший случай, когда диссипативные силы являются линейной функцией обобщённых скоростей:

.

Для линейной функции можно построить функцию Рэлея, тогда диссипативные силы - это частные производные по обобщённым координатам функции Рэлея:



(1.33)

В этом случае уравнение Лагранжа примет ещё более простой вид:

, где ,

(1.34)

т. е. для полного описания системы с диссипацией нужно задать две функции: L и F.

Если точечное преобразование (1.28) не содержит в явном виде времени, то

.

(1.35)

Таким образом, энергия системы убывает со скоростью, равной удвоенной функции Рэлея.