Метод последовательных приближений
Неизохронность колебаний математического маятника связана с нелинейностью описывающего их уравнения (2.7). Общих методов решения нелинейных ДУ не существует, но есть несколько приближенных методов. Дальше мы рассмотрим один из таких методов - метод последовательных приближений.
Сначала проделаем на примере маятника, а потом приведём к общему виду. Разложим нелинейное слагаемое sin(x) в уравнении (2.7) в ряд Тейлора, ограничиваясь вторым слагаемым
, | (2.10) |
здесь a = -1/6.
Зависимость периода колебаний от амплитуды (неизохронность колебаний) определяется коэффициентом a. Если a = 0 колебания чисто изохронные и период T = 2p/w0.
Дальше воспользуемся теоремой из теории ДУ, что решение ДУ непрерывно зависит от параметра. Так как есть период, зависящий от w0 то можно сказать, что w0 - это параметр системы, который совпадает с частотой линейных колебаний. Введём параметр w - частота действующих (свободных) колебаний w = 2p/T(a). Мы знаем, что при a = 0, она совпадает с w0, и непрерывно зависит от a, т. е. мы можем представить её в виде ряда по степеням a. Исторически сложилось (да и проще) раскладывать w2:
(2.11) |
Считая нелинейность малой, мы ограничиваемся только первым слагаемым, содержащим a. Подставим (2.11) в (2.10), тогда, сохраняя только первые степени по a, получим
. | (2.12) |
Решение x(t) уравнения (2.12) тоже непрерывно зависит от параметра a, причём при a = 0
.
В силу непрерывности решения по a, можно записать, ограничиваясь только первой степенью a, что при a ¹ 0,
.
Подставим это решение в (2.12), пренебрегая степенями a со второй включительно
,
и, учитывая уравнение нулевого приближения для x0
,
получим окончательное уравнение первого приближения
.
В нашем случае, выбирая начальные условия в виде t = 0, x = a, , находим решение уравнения нулевого приближения
.
Уравнение первого приближения соответственно будет
. | (2.13) |
У нас получилось линейное уравнение, в правой части которого стоят гармонические силы. Получилось, что на систему с собственной частотой w действуют два гармонических процесса с частотами w и 3w. Так как потерь нет, то колебания совершаются с бесконечной амплитудой (на частоте w резонанс), поэтому, чтобы такого не было, необходимо положить
,
тогда уравнение первого приближения примет вид:
. | (2.14) |
Из предыдущего соотношения находим, что . Тогда, подставив его в (2.11), получим
,
следовательно
. | (2.15) |
Решение уравнения первого приближения будет иметь вид:
,
где С1 и С2 - произвольные постоянные. Тогда полное решение (2.10) в первом приближении запишется следующим образом:
.
Значения произвольных постоянных можно найти, требуя от этого решения, чтобы оно удовлетворяло тем же начальным условиям, т. е. , тогда окончательно с учётом формулы (2.15)
. | (2.16) |
Из найденного соотношения видно, что колебания не изохронные и в них присутствуют высшие гармоники. Для математического маятника частота свободных колебаний убывает с ростом их амплитуды.
Дата добавления: 2019-02-08; просмотров: 618;