Типовые примеры и методы их решения

Пример 1.3.1. В банк 6 мая предъявлен для учета вексель на сумму 14 тыс. руб. со сроком погашения 10 июля того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 40% годовых, используя способ 365/360. Определите сумму, которую получит векселедержатель от банка, и комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. За какое время до срока платежа операция учета векселя по учетной ставке 40% годовых имеет смысл?

Решение. Величина суммы, полученной векселедержателем, рассчитывается по формуле (19) и при F=14 тыс. руб., п = года, d= 0,4 составит:

тыс. руб.

Дисконт D_d, полученный банком, представляет собой разность между F (номинальной величиной векселя) и Р (дисконтированной величиной векселя): D_d =14 – 12,989=1,011 тыс. руб.

Учет векселя по учетной ставке d имеет смысл, если n < , т.е. для данного случая n < 2,5 года. Если n = 2,5 года, то P=14 , т.е. владелец векселя вообще ничего не получит. При n > 2,5 сумма Р, которую должен получить при учете векселя его владелец, становится отрицательной, что не может иметь места.

Отметим, что поскольку 40% = 7,22%, то комиссионные D_d, полученные банком, представляют собой и 7,22% "во 100" с 12,989 тыс. руб. Действительно, по формуле (8) получим:

тыс. руб.

Пример 1.3.2. Вексель на сумму 9 тыс. руб. учитывается по простой учетной ставке за 120 дней до погашения с дисконтом 600 руб. в пользу банка. Определите величину этой годовой учетной ставки при временной базе, равной 360 дней в году.

Решение. Полагая в формуле (24) F = 9 тыс. руб., F – Р = 0,6 тыс. руб., t = 120 дней, T = 360 дней, получим:

Таким образом, простая учетная ставка составляет 20% годовых. Для проверки можно определить дисконт в пользу банка (т.е. решаем обратную задачу: по известной учетной ставке определяем дисконт):

тыс. руб.

Пример 1.3.3. Банк 7 июня учел три векселя со сроками погашения в этом же году соответственно 8 августа, 30 августа и 21 сентября. Применяя учетную ставку 25% годовых, бани удержал комиссионные в размере 2750 руб. Определите номинальную стоимость первых двух векселей, если номинальная стоимость второго векселя в два раза больше первого и третий вексель предъявлен на сумму 20 тыс. руб.

Решение. По таблице 1 приложения 2 находим, что первый вексель учтен за 62 дня до срока погашения, второй - за 84 дня и третий - за 106 дней. Полагая F =20 тыс. руб., n= года, d = 0,25, по формуле D_d = F ^. n ^. d определим комиссионные, удержанные банком за согласие учесть третий вексель:

тыс. руб.

Таким образом, общий дисконт от учета остальных двух векселей составит:

тыс. руб.

Обозначим теперь через F номинальную стоимость первого векселя, тогда номинальная стоимость второго векселя равна 2F. Следовательно,

Поскольку в сумме эти дисконты доставляют 1,277 тыс. руб., то, складывая их, получим уравнение:

,

решая которое относительно F, находим

тыс. руб.

Отсюда получаем и номинальную стоимость второго векселя - 16 тыс. руб.

Пример 1.3.4. Вексель на сумму 18 тыс. руб., выданный 14 мая и сроком погашения 20 ноября этого же года, был учтен в банке 10 октября по учетной ставке 36% годовых способом 365/360. На номинальную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 25% годовых способом 365/365. Найдите сумму, полученную векселедержателем. Провести анализ дохода банка. Год високосный.

Решение. Поскольку на 18 тыс. руб. будут начислены простые проценты за 190 дней, то вначале по формуле (10) находим сумму, которая должна быть выплачена предъявителю векселя при его погашении:

тыс. руб.

Поскольку вексель был учтен за 41 день до срока погашения, то по формуле (19) владелец векселя получит сумму:

тыс. руб.

В данном случае можно провести более глубокий анализ процесса учета векселя. Общий доход банка составит величину A =F~P= 20,336 -19,502 =0,834 тыс. руб. Этот доход складывается из двух частей - проценты по векселю, причитающиеся за время, оставшееся до момента погашения векселя, и собственно комиссионные за предоставленную услугу.

Найдем срочную стоимость векселя в момент учета его банком:

= тыс. руб.

Теперь можно определить проценты по векселю, составляющие часть дохода банка:

_p =F – = 20,336 – 19,832 = 0,504 тыс. руб.

Следовательно, собственно комиссионные, получаемые банком за услугу, оказываемую векселедержателю, составят величину:

_c = – _p= 0,834 - 0,504 = 0,33 тыс. руб.

Величину c можно было найти и по формуле _c = - Р.

C позиции банка сумма 330 руб. представляет собой плату за возможность более быстрого получения наличных векселедержателем. Отметим, что реальные потери векселедержателя составляют именно величину 330 руб., а не 834 руб., как это кажется на первый взгляд. Конечно, банк может получить больше 330 руб., увеличивая учетную ставку.

Следует отметить, что если бы учетная ставка была, допустим, 30% годовых, а процентная - 40% годовых, то банк оказался бы в проигрыше. Действительно, используя обозначения примера, получим:

F = 18 = 21,738 тыс.руб.;

Р = 20,336 = 20,995 тыс. руб.;

= 20,931 тыс. руб.

Поэтому банк потеряет величину:

_p – = =20,995-20,931=0,064 тыс. руб.

Пример 1.3.5. В банк 15 февраля предъявлен для учета вексель на сумму 40 тыс. руб. со сроком погашения 30 июня того же года. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 30% годовых. Определите сумму, полученную векселедержателем, и величину дисконта банка, если при учете использовался способ 365/365 и год високосный. Каковы будут определяемые величины при учете по простой учетной ставке 30% и использовании способа 365/360?

Решение. Если учет производится по простой процентной ставке, то, полагая в формуле (18) F = 40 тыс. руб., n = года, r= 0,3, находим сумму, полученную владельцем векселя:

тыс. руб.

Следовательно, дисконт банка составляет:

D_r = 40 - 35,988 = 4,012 тыс. руб.

Если же учет производится по простой учетной ставке, то пользуемся формулой (19) при F =40 тыс. руб., n= года, d = 0,3. В этом случае векселедержатель получит:

тыс. руб.

и поэтому дисконт банка составит:

D_d = 40 - 35,467 = 4,533 тыс. руб.

Таким образом, во втором случае векселедержатель получит на 521 руб. меньше, а банк - соответственно на 521 руб. больше.

Заметим, что если бы владелец векселя предъявил в банк вексель за 4 года до срока погашения, а банк учел вексель по простой процентной ставке, то векселедержатель получил бы:

тыс. руб.

т.е. достаточно большую сумму, в то время как учет по простой учетной ставке 30% годовых за 4 года до срока погашения в принципе невозможен, так как для этой ставки верхней границей является 10/3 года.

Обратим внимание и на следующий факт. Поскольку , токомиссионные D_r, полученные банком,представляют собой и 11,148% "на 100" с 40 тыс. руб. Действительно, по формуле (7) получим:

тыс. руб.

Пример 1.3.6. За вексель, учтенный за 5 лет по учетной ставке 14% годовых, заплачено 4 тыс. руб. Определите номинальную величину векселя.

Решение. Ситуация, описанная в условии примера, равносильна следующей: на сумму 4 тыс. руб. в течение 5 лет осуществляется наращение простыми процентами по простой учетной ставке 14% годовых. Необходимо определить наращенную сумму. Поэтому можно воспользоваться формулой (20), в которой Р = 4 тыс. руб., п = 5 лет, d = 0,14:

F= тыс. руб.,

что и равно номинальной величине векселя.

Если же описанную ситуацию рассматривать с точки зрения процесса наращения, то приращение капитала в 4 тыс. руб. за 5 лет составит величину: I_d =13,333-4-9333 тыс. руб. Найдем приращение капитала за каждый год.

За первый год (n = 1) капитал увеличится на величину

тыс. руб.

За два года (n = 2) капитал увеличится на величину

тыс. руб.,

и, следовательно, его приращение за второй год составит:

тыс. руб.

Аналогичным образом получаем приращения за третий, четвертый и пятый годы:

тыс. руб.

тыс. руб.

тыс. руб.

С целью проверки просуммируем полученные величины:

тыс. руб., т.е., как и должно быть, получили .

Пример 1.3.7. Найдите учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 30% годовых, при наращении капитала: а) за год; б) за 150 дней. Временные базы ставок одинаковы.

Решение, а) Для расчета воспользуемся формулой (26), где г=0,3, п= 1 год:

.

Таким образом, ученая ставка 23,08% годовых обеспечивает за год такое же наращение простыми процентами, как и процентная ставка 30% годовых.

б) Здесь возможны три случая, когда в году 360, 365 или 366 дней, т.е. n = года, n = года или n = года. Пользуясь формулой (26), соответственно получаем:

Бели бы в случае а) временные базы были бы неодинаковы, например, для учетной ставки - 360 дней, для процентной ставки - 365 дней, то следовало бы пользоваться формулой (28), где Т_r = 365 дней, Т_d = 360 дней и t = 150 дней:

.

Пример 1.3.8. Предприниматель получил 12 марта ссуду в банке по простой учетной ставке 22% годовых и должен возвратить 15 августа того же года 30 тыс. руб. Определите различными возможными способами сумму, полученную предпринимателем, и величину дисконта, если год невисокосный и проценты удерживаются банком при выдаче ссуды. Какова будет доходность такой операции для банка в виде годовой простой процентной ставки?

Решение. Величина суммы, полученной предпринимателем, зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней ссуды определяется, например, по таблице: 227 - 71 = 156 дней. Приближенное число дней состоит из 18 дней марта (30 -12); 120 дней (по 30 дней четырех месяцев: апрель, май, июнь, июль) и 15 дней августа. Т.е. приближенное число дней составляет 18+120+15=153 дня. Теперь с помощью формулы (19) можно рассчитать возможные значения суммы Р, полученной предпринимателем, и величину дисконта D_d.

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:

тыс. руб.,

D_d = 30 –27,179 - 2,821 тыс. руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:

тыс. руб.,

D_d = 30 – 27,140 = 2,860 тыс. руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:

тыс. руб.,

D_d = 30 – 27,195 = 2,805 тыс. руб.

Для определения доходности для банка такой кредитной операции необходимо учитывать расчетное количество дней в году. Если для учетной и процентной ставок используется одна и та же временная база, например 365 дней в году, и в расчет принимается точное число дней ссуды, то по формуле (25), полагая n = года, d = 0,22, находим:

Таким образом, процентная ставка r = 24,28% обеспечивает через 156 дней (считая, что в году 365 дней) получение такой же наращенной величины из начального капитала, что и учетная ставка d = 22%. Действительно,

тыс. руб.

В предположении, что в году 360 дней для точного и приближенного числа дней ссуды, соответственно получим:

Если временные базы для процентной и учетной ставок разные, то варианты расчета доходности для банка в виде годовой простой процентной ставки рассматриваются аналогичным образом. Например, полагая в формуле (27) = 365, = 360, при точном числе дней t = 156 находим:

Продолжая подобным образом, можно рассчитать г для всех возможных случаев. Конечно, формулу (27) можно было использовать и в случае одной и той же временной базы для процентной и учетной ставок.

Пример 1.3.9. В банк предъявлен вексель на сумму 50 тыс. руб. за полтора года до срока его погашения. Банк согласен учесть вексель по переменной простой учетной ставке, установленной следующим образом: первые полгода - 30% годовых, следующие полгода - 36% годовых, затем каждый квартал ставка повышается на 2%. Определите дисконт банка и сумму, которую получит векселедержатель.

Решение. Так как на первое полугодие установлена учетная ставка 30% годовых, то дисконт за этот период равен 50 ^. 0,5 ^. 0,3 тыс. руб. Дисконт за второе полугодие – 50 ^. 0,5 ^. 0,36 тыс. руб. Поскольку на последующие кварталы установлены учетные ставки 36% + 2% = 38% и 38% + 2% = 40% годовых, то дисконты равны соответственно тыс. руб. и тыс. руб.

Суммируя полученные величины, находим дисконт D_d за полтора года:

тыс. руб.

Следовательно, владелец векселя получит 50 - 26,25 = 23,75 тыс. руб.

Такой же дисконт D_d = 26,25 тыс. руб. можно было получить, и установив на полтора года постоянную простую учетную ставку

т.е. d = 35% годовых.

Пример 1.3.10. При учете предъявленного векселя на сумму 30 тыс. руб. за 40 дней до срока его погашения доход банка coставил 1,5 тыс. руб. Определите доходность этой финансовой операции для банка в виде простой годовой процентной ставки при расчетном количестве дней в году, равном 360.

Решение. Вначале находим сумму, выплаченную предъявителю векселя: Р=30-1,5 =28,5 тыс. руб. Затем, полагая F - Р = 1,5 тыс. руб., t= 40 дней, Т = 360 дней, по формуле (23) получим:

или 47,37%

Решим этот пример другим способом, согласно которому вначале находим по формуле (24) простую годовую учетную ставку, по которой осуществлялся учет векселя:

И после этого по формуле (27) определяем эквивалентную простую процентную ставку:

Естественно, получили тот же результат.

Пример 1.3.11. Депозитный сертификат дисконтного типа номиналом 300 тыс. руб. куплен за 100 дней до его погашения по цене, определяемой простой учетной ставкой 30% годовых, и через 40 дней продан по цене, определяемой простой учетной ставкой 28% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки при расчетном количестве дней в году, равном 360. Какова будет доходность, если владелец сертификата продержит его до погашения?

Решение. Доход от приобретения депозитного сертификата дисконтного типа определяется тем, что он продается по цене ниже номинала, а погашается по номиналу. Также владелец такого сертификата может получить доход, продав сертификат до даты его погашения.

Цену покупки депозитного сертификата находим по формуле (19) при F = 300 тыс. руб., t= 100 дней, T = 360 дней, d = 0,3:

тыс. руб.

Поскольку позже депозитный сертификат был продан за 60 дней до срока погашения, то его цена продажи составила (t= 60 дней, d=0,28):

тыс. руб.

Доходность такой операции купли-продажи определяем по формуле (23), где Р = 274,882 тыс. руб., F = 286 тыс. руб., t = 40 дней, Т = 360 дней:

или 36,40%

Следует заметить, что найденная доходность по существу не зависит от величины номинала данного депозитного сертификата, а зависит от размеров учетных ставок и сроков от момента покупки и продажи до момента погашения сертификата. Это хорошо видно при решении аналогичного примера в общем виде. Кстати, и этот пример можно было решать, полагая величину номинала депозитного сертификата произвольной величиной F, которая при нахождении доходности просто сократится.

Если же сертификат не будет продан до срока погашения, то в этом случае доходность будет равна простой процентной ставке, обеспечивающей через 100 дней получение такой же наращенной величины из начального капитала, что и учетная ставка 30% годовых, т.е. надо воспользоваться формулой (25):

или 32,73% годовых.

Пример 1.3.12. Вексель учитывается банком за 120 дней до срока его погашения по простой учетной ставке 39% годовых. Определите доходность для банка такой финансовой операции в виде простой годовой процентной ставки, если: а) комиссионные не удерживаются; б) удерживаются комиссионные в размере 1% от суммы, выплачиваемой за вексель. Расчетное число дней в году принимается равным 360.

Решение, а) Пусть предъявлен вексель на некоторую сумму F, тогда доход банка составит: , а предъявитель векселя получит сумму .F–0,13F=0,87F. Следовательно, по формуле (23) доходность для банка будет:

т.е. 44,83%

Очевидно, можно было и сразу применить формулу (27) при T_r=T_d=360:

б) Так как сумма, выплачиваемая за вексель, равна 0.87F, величину удержанных комиссионных определяем, взяв от этой суммы 1%: 0,87F ^. 0,01 = 0,0087F. Предъявитель векселя получит величину 0,87F–0,0087F=0,8613F. Следовательно, общий доход банка составит: F – 0,8613F=0,1387F. Теперь по формуле (23) можно определить доходность учета векселя для банка в виде простой годовой процентной ставки:

т.е. 48,31%

Таким образом, взимание комиссионных повышает доходность учета для банка.