Уравнение Эйлера. Теоретический и действительный напоры
Энергия, передаваемая жидкости или газу рабочим колесом центробежной машины, определяется в основном значениями абсолютной, относительной и окружной скоростей на входе и выходе из межлопастных каналов. Параллелограммы этих скоростей даны на рис. 37, где обозначено: u -окружная скорость; w -относительная скорость, т. е. скорость потока относительно вращающегося колеса; с-абсолютная скорость, или скорость жидкости относительно неподвижного корпуса машин.
Характерными элементами являются также следующие углы: a -угол между векторами окружной и абсолютной скоростей и b -угол, образованный вектором относительной и обратным направлением окружной скоростей; последнее определяется формой лопастей центробежной машины и режимом ее работы.
Элементы параллелограммов скоростей и геометрические размеры колеса, относящиеся ко входу и выходу межлопастных каналов, отмечаются соответственно индексами 1 и 2.
В теории и расчетах центробежных машин используют также окружную и радиальную составляющие абсолютных и относительных скоростей, обозначаемые индексами uиr. Например, -окружная проекция абсолютной скорости на выходе из рабочего колеса.
Применим к потоку, проходящему через рабочее колесо машины, уравнение моментов количества движения предполагая, что поток, проходящий через межлопастные каналы, -плоский, т. е. определяющийся только двумя компонентами: ,и .
Кроме того, будем предполагать, что влияние рабочих лопастей на поток столь существенно, что скорости во всех точках цилиндрических сечений постоянного радиуса сохраняются постоянными. Это возможно только при очень большом (условно – бесконечном) количестве тонких лопастей.
| |||
Рис. 37. Разрезы колеса центробежной машины. Параллелограммы скоростей на входе и выходе межлопастных каналов |
Поэтому в литературе величины, характеризующие поток через межлопастные каналы при указанном предположении, условно обозначают индексом ¥ и называют параметрами при бесконечном количестве лопастей.
Если колесо пропускает расход Q жидкости или газа с плотностью r, то моменты секундных количеств движения на входе и выходе из межлопастных каналов в соответствии с рис. 37 будут:
и .
Импульс внешнего момента, действующего на массу жидкости, проходящей через колесо, равен изменению момента количества движения этой массы, поэтому
( - )Dt, (35)
где - теоретический момент, прилагаемый к потоку в межлопастных каналах, при бесконечном количестве лопастей.
Момент, подводимый к валу машины, больше вследствие механического трения в подшипниках и уплотнениях вала и гидравлического (газового) трения нерабочей стороны колес о жидкость (газ).
Введем в уравнение (35) конструктивные радиусы, имея в виду, что и , тогда
= rQ( .
Из рис. 3-2 следует:
и .
Поэтому
. (36)
Мощность, передаваемая потоку в межлопастных каналах,
или
. (37)
Если обозначить величину удельной теоретической энергии (без учета потерь энергии в проточной части колеса), то теоретическая мощность насоса будет:
= rQ . (38)
Сопоставляя (37) и (38), получаем:
= . (39)
Удельная работа и напор связаны зависимостью = . Следовательно, из (39)
, (40)
где - теоретический напор колеса центробежного насоса, м, при бесконечном количестве лопастей.
Уравнения (36), (37) и (39) являются основными уравнениями центробежных машин.
При расчете момента, мощности и напора по формулам (36), (37) и (39) следует иметь в виду, что скорости и постоянны соответственно по окружностям радиусов и .
Следует отметить, что в действительных условиях наблюдается некоторая неравномерность распределения абсолютных и относительных скоростей как на входе, так и на выходе из рабочего колеса.
Уравнение Эйлера можно представить в другом виде, воспользовавшись параллелограммами скоростей на входе и выходе:
;
.
Определив отсюда произведения и и подставив их в уравнение (40), получим:
. (41)
Физическая величина представляет собой напор, обусловленный работой центробежной силы жидкости.
Действительно, величина центробежной силы жидкости или для 1 кг жидкости .
Работа силы на элементарном пути dr:
.
Работа силы Р'ц на пути от входа в межлопастные каналы до выхода из них
.
При w = const
.
Напор, соответствующий , будет .
Члены уравнения (41) и выражают соответственно прирост напора за счет преобразования кинетических энергий относительного и абсолютного движений.
Так как с1 и с2есть абсолютные скорости на входе и выходе межлопастных каналов, то - скоростной напор, создаваемый лопастями рабочего колеса:
. (42)
Поэтому теоретический статический напор (удельная потенциальная энергия):
= = + . (43)
В большинстве случаев поток, входящий в межлопастные каналы, приведен во вращательное движение благодаря непосредственному соприкосновению с валом и втулкой колеса и вследствие импульсивного обмена между массами жидкости (газа), уже вошедшими в межлопастные каналы, и массами, находящимися еще вне их. Это явление называют закручиванием потока на входе. Интенсивность закручивания потока на входе характеризуется величиной (м/с), или в относительных единицах, .
Из уравнения Эйлера (40) следует, что теоретический напор Нт зависит от окружной проекции скорости на входе в межлопастные каналы . Однако сказанное справедливо только в том случае, если закручивание потока перед колесом вызвано специальными направляющими аппаратами. Если же закручивание потока вызвано воздействием самого рабочего колеса, то оно сопровождается увеличением теоретического напора.
,
Поэтому при закручивании потока самим рабочим колесом
.
Следовательно, при определении теоретических характеристик машины без входного направляющего устройства (или входного патрубка специальной формы, обеспечивающей закручивание потока перед рабочим колесом) основные уравнения представляются в виде:
(44)
Это - уравнения центробежной машины с радиальным входом в межлопастные каналы.
Если =0, то из треугольника скоростей на входе следует:
Поэтому из уравнения (41) для этого случая получим:
; (45)
(46)
Действительный напор, создаваемый колесом, меньше теоретического при бесконечном количестве лопастей H < . Во-первых, это объясняется тем, что часть энергии, получаемой жидкостью в рабочем колесе, затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений в проточной части машины. Эти потери учитываются гидравлическим к. п. д. . Во-вторых, указанное неравенство обусловлено отклонением действительной картины течения от предполагаемой струйной при бесконечном количестве лопастей.
Это учитывается введением поправочного коэффициента m на конечное количество лопастей
.
Гидравлический к. п. д. современных центробежных машин оценивает гидравлическое совершенство проточной части их и лежит в пределах 0,80-0,96.
Поправочный коэффициент m<1 определяется по полуэмпирическим формулам Стодолы и Пфлейдерера.
По методу Стодолы
.
Эта формула хорошо согласуется с практикой.
,
где -опытный коэффициент, зависящий от ; S - статический момент средней линии тока по лопасти.
Дата добавления: 2019-02-08; просмотров: 633;