Возможности замещения ресурсов

Возьмем производственную функцию с двумя ресурсами:

. (19)

Функции такого типа часто используются при описании народного хозяйства или его структурных единиц. В таких производственных функциях величина уимеет смысл конечной продукции народного хозяйства, x₁ - общего количества основных фондов, x₂- общего количества трудовых ресурсов в стране.

Функция (19) удовлетворяет всем предположениям предыдущего раздела, причем для нее δ= 1. Поэтому можно построить функцию φ(х), которая в данном случае будет показывать объем продукции на 1 трудящегося и имеет вид:

,

где χ- отношение количества основных фондов к численности трудящихся, т. е. фондовооруженность.

График функции совпадает в этом случае с графиком производственной функции с одним ресурсом. Возможность взаимного замещения ресурсов означает, что одно и то же количество продукта уможет быть произведено различных сочетаниях ресурсов. Совокупность таких сочетаний ресурсов, т.е. точек в пространстве ресурсов, при котором может быть произведено определенное количество продукции у, называется изоквантойиобозначается:

Q(y₀) = {x: f(x) = y₀}.(20)

Рассмотрим произвольный луч в пространстве ресурсов, исходящий из начала координат и лежащий в положительном ортанте. Математически этот луч описывается как множество:

L = {x: x = tx⁰,t≥0},x⁰≥0.

Согласно соотношению (13), получается, что для точек луча L имеет место соотношение:

Если и , то при достаточно больших tвыпуск продукции на луче может достичь любых предварительно заданных величин, в том числе и y_0.

Пусть тогда в точке х* = луч L пересекается с изоквантой Q(yo). В точках луча, лежащих ближе к началу координат, т. е. t < t₀, выполняется соотношение у < у_о. А в точках луча, лежащих от начала координат дальше чем точка х*, имеем у > уо. Поскольку данное утверждение верно для любого луча с положительным направляющим вектором х° - таким, что , то можно сделать следующие выводы о свойствах изоквант:

§ изокванты не пересекаются друге другом;

§ изокванта Q(yo) разбивает неотрицательный ортант пространства ресурсов на 2 множества: в одном из которых у < у_о, в другом у > у_о, причем граница между этими множествами проходит по изокванте Q(yo);

§ большему выпуску продукции соответствует изокванта, более удаленна от начала координат;

§ изокванты не имеют общих точек с осями координат.

Одна из изоквант производственной функции изображена на рис. 5. Луч L представлен на рисунке отрезком ОА. Изокванта Q(yo) представляет собой зависимость X2(xi). Уравнение изокванты (20) задает эту зависимость неявно:

В явном виде получаем

(21)

Рис. 5.

Функция х₂(х₁),имеющая смысл количества трудовых ресурсов, необходимых для получения заданного конечного продукта в зависимости от использующегося объема основных фондов, является монотонно убывающей функцией. При ¶f/¶ х₂ > 0 вдоль изокванты выполняется соотношение:

= (22)

Из условия (11) получается, что γ≤0, а при строгой положительности предельных эффективностей ресурсов γ < 0. Величину γ принято называть предельной нормой замещенияодного ресурса другим. Она показывает, сколько второго ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат первого ресурса, если выпуск продукции остается неизменным.

Предельная норма замещения γ имеет отрицательную величину, т. к. при уменьшении использования одного из ресурсов для сохранения выпуска продукции использование другого ресурса надо увеличить. На рис. 5 предельная норма замещения а совпадает по величине с тангенсом угла φ. Можно заметить, что , а угол φ и величина γ меняются при движении вдоль изокванты

Для производственной функции имеем:

(23)

Из формулы следует, что для функции (19) абсолютная величина предельной нормы замещения труда основными фондами обратно пропорций фондовооруженности х₁/х₂. Этот факт можно легко объяснить: увеличение фондовооруженности приводит к уменьшению количества трудовых ресурсов, высвобождаемых каждой новой единицей основных фондов. Такой результат тесно связан со свойством (13) функции (19).

Линии называют изоклиналями производственных функций с двумя ресурсами. Для функции (19) изоклинали имеют вид:

На рис. 6 представлены две изокванты, Q (у₀) и Q (у₁), и три изоклинали соответствующие значениям нормы замещения, , и , где для производственной функции (19).

Рис. 6

Величины углов φ₁,φ₂ и φ₃ удовлетворяют соотношению:

,

а уравнения изоклиналей выглядят так:

В данном случае изоклинали имеют особенно простой вид – они являются лучами, исходящими из начала координат.

Такое свойство имеют изоклинали для важного класса производственных функций - однородных функций.

Для количественной характеристики скорости изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты используется понятие эластичности замещения ресурсов :

(24)

Эластичность замещения ресурсов имеет следующий экономический смысл – она приближенно показывает, на сколько процентов должно измениться отношение ресурсов при движении вдоль изокванты, чтобы при этом предельна норма замещения у изменилась на 1%.

Для производственной функции (19) эластичность замещения ресурсов имеет простую геометрическую интерпретацию: поскольку изоклинали этой функции – прямые линии, то отношение х₂/х₁характеризуется тангенсом угла наклона изоклинали (см. рис. 5). Поэтому величина δ показывает, на сколько процентов необходимо повернуть изоклиналь (т. е. изменить tgξ), чтобы tgφ изменился на 1%.

Как и в случае эластичности выпуска по ресурсу, эластичность замещения ресурсов также может быть представлена в более удобной форме:

Для производственной функции (19), учитывая соотношение

, получаем:

=1

Постоянство эластичности замещения ресурсов σ многих производственных функций позволяет охарактеризовать с ее помощью возможность замещения ресурсов в целом (а не при каком-то конкретном соотношении ресурсов, как удается на основе предельной нормы замещения γ). Чем больше σ, тем в более широких пределах производственные ресурсы могут замещать друг друга.

Все изложенные понятия, относящиеся к анализу замещения ресурсов в производственных функциях с двумя ресурсами, могут быть обобщены и на случай произвольного числа ресурсов. Понятие изокванты (20) с самого начала введено для произвольного числа ресурсов. Продифференцировав функцию вдоль изокванты, получим:

. (25)

Зафиксируем затраты всех ресурсов, кроме i-ro и j-го. Получаем соотношение:

,

которое полностью совпадает с соотношением (21) для производственной функции с двумя ресурсами. Это дает возможность ввести предельную норму замещения для ресурсов i и j: