Анализ обмена в двухсубъектной двухпродуктовой экономике

Коробка Эджуорта (по имени английского экономиста Ф. Эджуорта), представляет совмещенные карты безразличия двух субъектов, А и В, причем карта безразличия В повернута на 180°, так что начала координат каждой из двух карт безразличия становятся противолежащими вершинами прямоугольника (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Коробка Эджуорта и контрактная линия

Границы коробки Эджуорта соответствуют фиксированнымколичествам товаров X и Y, находящимся в распоряжении субъектов А и В, так что AL = ВК = Х_А + Х_B и АK = BL = Y_A + Y_B. Количества товаров X и Y фиксированы, потому что в рассматриваемой экономике нет производства, и товары поступают извне.

Любая точка в пределах коробки Эджуорта характеризует некоторое распределение двух товаров, X и Y, между двумя субъектами. Пусть, например, точка S⁰ на рис. 5.3 будет точкой начального распределения благ X и Y между А и В. Такое распределение товаров S⁰ субъекты A и В сочтут неудовлетворительным, ведь в точке S⁰ наклоны пересекающихся здесь кривых безразличия А и В (U⁰_A и U⁰_B) неодинаковы, что означает и неравенство в этой точке их предельных норм замены товаров X и Y. Равновесие потребителей будет точкой касаниякривых безразличия обоих субъектов.

Множество точек касания кривых безразличия двух субъектов образует так называемую контрактную линию(кривая АВ на рис. 5.3), характеризующую множество взаимоприемлемых результатов обмена двух субъектов. Уравнение контрактной линии имеет вид:

. (5.6)

Однако не все взаимоприемлемые результаты обмена, принадлежащие контрактной линии, будут одинаково выгодны обоим субъектам. Например, переход из начального распределения товаров S⁰ к распределению F весь выигрыш от обмена достанется субъекту В, так как субъект А останется на прежней кривой безразличия U⁰_A. Следовательно, участок FG контрактной линии является множеством Парето при распределении запаса товаров.

Добровольный и взаимоприемлемый обмен может иметь своим результатом лишь такое конечное распределение товаров X и Y, которое отображается точками в интервале FG контрактной кривой АВ при исходном распределении S⁰.

Для степенных функций полезности субъектов , имеем следующее выражение контрактной линии:

, откуда , следовательно

.

Обозначив запишем это уравнение в виде:

.

Это уравнение определяет семейство функций Y=Y(X). Преобразуя к квадрату разности левую и правую части уравнения, получим:

. (5.7)

Рассмотрим частный случай потребителей, имеющих противоположные предпочтения , при этом .

.

Для случая равенства запасов K=L имеем:

. (5.8)

Таким образом, контрактная линия является монотонно возрастающей (для степенных функций полезности при равенстве коэффициентов эластичности и одинаковых запасах товаров – линейно возрастающей), то есть при взаимовыгодном обмене увеличение одного товара в запасе должно сопровождаться приростом другого товара.

Определим, какая именно точка на сегменте FG характеризует конечное распределение товаров X и Y, при котором обмен ими между А и В прекратится. На рис. 5.4 отображены кривые предложения каждого субъекта, ОС_А и ОС_В, и две кривые безразличия U⁰_A и U⁰_B. Кривые предложения ОС_А и ОС_В пересекаются в некоторой точке Е, поскольку в этой точке касаются кривые безразличия U'_A и U'_B и бюджетная линия S°E.

Максимальное удовлетворение (полезность) для обоих субъектов возможно в точке касания кривых безразличия субъектов, лежащей на бюджетной линии, проходящей через точку начального запаса товаров:

(5.9)

Поскольку из каждой части этого условия было получено выражение кривой предложения для соответствующего субъекта, то равновесие достигается в точке пересечения кривых предложения в коробке Эджуорта, так это точка, через которую проходят наивысшие возможные кривые безразличия при данной бюджетной линии.

Выражение кривой предложения первого субъекта получено выше (формула (5.5)). Выражение кривой предложения второго субъекта найдем, подставив в эту формулу координаты второй системы осей в коробке Эджуорта

,

и заменив коэффициенты эластичности α на γ, β на δ. В результате получим:

.

Рис. 5.4. Равновесие в обмене

Координаты точки равновесия определяем, приравнивая выражение кривой предложения первого субъекта и второго субъекта откуда

. (5.10)

Полученное трансцендентное уравнение позволяет определить искомый оптимальный товарный набор.

Поскольку в рассмотренной двухсубъектной экономике простого обмена цены идеальны, то есть при обмене играет роль относительная ценность товаров, обусловленная их количествами в запасах субъектов, то равновесие достигается, притом оно единственно, как точка пересечения монотонных кривых предложения.

§5.4. Равновесие в производстве.
Двухфакторная двухпродуктовая модель

Модель равновесия в производстве аналогична модели равновесия в потреблении, представленной в предыдущем разделе.

Предположим, что товары X и Y производятся двумя фирмами. В их производстве используются два переменных фактора производства, К и L, приобретаемых по ценам w и r. В коробке Эджуорта производственные функции представлены семействами изоквант. Начальное распределение факторов производства К и L между предприятиями отображается точкой S°. Общее наличие каждого ресурса в экономике фиксировано.

Начальное распределение факторов между предприятиями не удовлетворяет их, так как в точке S° пересекающиеся изокванты Х_о и Y_о имеют разный наклон и, следовательно, предельные нормы замены факторов оказываются разными. Они будут одинаковы в точках касания изоквант, таких, как F, E, G и множестве других, образующих контрактную кривую О₁О₂. В любой из них

MRTS^X_KL = MRTS^Y_KL . (5.11)

Рис. 5.5. Равновесие в производстве

Между фирмами начнется обмен ресурсами К и L, который завершится при таком их распределении, которое на рис. 5.5 характеризует точка Е, лежащая на сегменте FG контрактной кривой. Следовательно, в ходе обмена предприятие 1 обменяет часть ресурса К на некоторое количество ресурса L. Достигнуть равновесия в производстве им удастся при соотношении цен факторов w/r, которому соответствует наклон бюджетной линии а на рис. 5.5. Таким образом, равновесие будет при условии:

. (5.12)

По аналогии с результатами предыдущего параграфа, конечное распределение двух факторов производства между фирмами определяется точкой пересечения их кривых предложения, которая в то же время является и точкой касания их изоквант и бюджетной линии, и лежит на контрактной кривой в зоне взаимовыгодного обмена.