Функция издержек в долгосрочном периоде

Функция издержек определяется в результате решения задачи минимизации издержек на производство фиксированного выпуска Q. Эту задачу можно записать в виде

при условии, что ,

Эта задача имеет наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 2.3). Если перемещать изокосту по направлению к началу координат до тех пор, пока она продолжает иметь общие точки с изоквантой, соответствующей фиксированному объёму выпуска Q₁, то решением задачи минимизации издержек будет общая точка A₁ изокосты C₁ и изокванты Q₁ с координатами [x₁^*(Q₁), x₂^*(Q₁)]. Эта точка касания зависит от объёма выпуска (поэтому записано [x₁^*(Q₁), x₂^*(Q₁)] ). Если объём выпуска уменьшится до уровня Q₂ (Q₂<Q₁), то изменится положение точки касания на A₂ с координатами [x₁^*(Q₂), x₂^*(Q₂)]. Множество точек A_i, i=1,2,...,n, соответствующих различным объемам выпуска Q_i, i=1,2,...,n, образуют линию долгосрочного развития фирмы.Точки, находящиеся на этой линии, характеризуют минимальные издержки производства, соответствующие фиксированным объемам выпускаемойпродукции.

Изокванты на этом графике характеризуют технологические ограничения, т.е. каждая i-я изокванта отображает все комбинации ресурсов х₁ и х₂, с помощью которых можно обеспечить выпуск Q_i. Изокосты характеризуют экономическиеограничения, т.е. каждая i-я изокоста отображает все комбинации ресурсов х₁ и х₂,имеющие при неизменных ценах ресурсов один и тот же уровень издержек C_i. Поскольку задача минимизации издержек сводится к нахождению точки, в которой изокванта касается самой низкой изокосты, то это будет означать, что комбинация ресурсов, соответствующая точке касания, обеспечит потребный выпуск при минимальных издержках. Тогда комбинация ресурсов [x₁^*(Q₁), x₂^*(Q₁)], соответствующая точке А₁, обеспечит минимальные издержки на уровне С₁ выпуску Q₁, а комбинация ресурсов [x₁^*(Q₂), x₂^*(Q₂)], соответствующая точке А₂, – на уровне С₂ выпуску Q₂.

Рис. 2.3. Траектория долговременного развития

Сформулируем условие касания: наклон изокванты должен быть равен наклону изокосты.Поскольку угол наклона изокванты определяется выражением , а угол наклона изокосты, исходя из уравнения этой кривой,

равен , то при выполняется условие:

. (2.2)

Таким образом, долгосрочная траектория развития организации образована точками сочетаний ресурсов, отношение предельных продуктов которых при данном виде производственной функции равно отношению цен этих ресурсов.

Выразим известный фиксированный выпуск Q в точке рыночного равновесия через оптимальные объёмы используемых ресурсов

. (2.3)

Подставим выражения предельных продуктов MQ₁, MQ₂ (см. пример 1.3.3.) в условие минимальности издержек (2.2), и выразим x₂^*:

, (2.4)

где .

Уравнение

выражает линию долгосрочного развития.

Подставим x₂^* из (2.4) в ПФ (2.3), откуда найдем x₁^* как функцию объема выпуска:

. (2.5)

Выражение x₂^*(Q^*) определим, используя соотношение x₂^*=hx₁^*:

. (2.6)

Найденные значения представляют собой функции спроса на ресурсы. Они позволяют для известного значения объема выпуска Q определить необходимые количества ресурсов, при которых достигается минимум издержек.

Подставим значения в выражение функции издержек

,

получим зависимость суммы затрат организации от объема выпуска продукции:

,

, (2.7)

где . Выражение (2.7) представляет собой функцию издержек. Необходимо подчеркнуть, что она является функцией выпуска C(Q), а не функцией затрачиваемых ресурсов C(x₁,x₂). Полученная функция издержек соответствует длительному периоду, то есть .

В случае отсутствия эффекта расширения масштаба r=a+b=1 функция издержек представляет собой линейную функцию объема выпуска Q:

.

Кривая функции издержек выпукла вверх при r>1; это означает, что при увеличении объема выпуска продукции происходит относительное уменьшение издержек, то есть наблюдается положительный эффект расширения масштаба производства. В случае r<1 кривая функции издержек выпукла вниз, что соответствует относительно более быстрому темпу роста издержек по сравнению с ростом объема производства.

Пример 2.2.1. Для стекольного завода, приобретающего песок по цене 4 тыс. руб./т и топливо по цене 7 тыс. руб./т, определить характер кривых долгосрочных издержек C_L(Q) при различных типах эффекта расширения масштаба: отсутствие эффекта расширения масштаба (r=1) ; возрастающая отдача от расширения масштаба (r=1,2) ; убывающая отдача от расширения масштаба (r=0,8) .

Зависимости долгосрочных издержек от объема выпуска продукции (в тоннах) изображена на рис. 2.4. Функции издержек построены с использованием формула (2.7), полагая А=1. Очевидно, что при возрастающей отдаче от расширения производства издержки фирмы растут замедленными темпами по сравнению с ростом объема выпуска, а в случае убывающей отдачи – ускоренными темпами. Графики на рис. 2.4 позволяют определить суммы издержек при различных объемах производства: например, при выпуске 4 тонн стекла в месяц фирма, работающая в экономичном режиме, затратит 45 тыс. руб. (если эффект расширения масштаба отсутствует).

Рис. 2.4. Кривые долгосрочных издержек