Функция издержек при переменном эффекте расширения масштаба производства

До сих пор предполагалось, что показатель эффекта масштаба r не является функцией объема выпуска. Однако во многих производственных процессах возрастающая отдача от расширения масштаба производства (r>1) сменяется при достижении определенного объема выпуска вначале постоянной отдачей (r=1), а затем убывающей (r<1). Производственной функции с переменным характером отдачи от расширения масштаба производства соответствует изменяющаяся конфигурация кривых издержек.

Определим аналитическое выражение функции долгосрочных издержек с учетом формулы (2.7):

, (2.12)

для случая, когда показатель степени однородности является линейно убывающей функцией объема выпуска от максимального значения при объеме выпуска до минимального значения при , как показано на рис. 2.7, то есть .

Разобьем диапазон изменения объема выпуска (рис. 2.7) на следующие характерные участки:

.

На первом участке имеет место возрастающая отдача от расширения масштаба производства (r>1, ); поэтому зависимость совокупных затрат будет отображаться кривой, выпуклой вверх, причем по мере приближения текущего значения Q к при постоянной отдаче (r=1), кривая переходит в прямую линию . На третьем участке, при убывающей отдаче (r<1, ), прямая постепенно переходит в кривую, выпуклую вниз. Таким образом, при имеет место перегиб кривой совокупных издержек.

Кривую долгосрочных издержек при переменном эффекте расширения масштаба производства принято называть «S-образной» кривой в связи с ее видом. Эта кривая охватывает весь период существования и развития фирмы, начиная от малого предприятия и заканчивая крупной корпорацией. Впервые «S-образная» кривая теоретически обоснована Аланом Уолтерсом в 1963 г.

С учетом формулы (2.11) преобразуем выражение суммы затрат в краткосрочном периоде к следующему виду:

.

Кривая C_s(Q) при небольших значения Q будет близка к прямой линии, но по мере возрастания Q она будет переходить в кривую, все более выпуклую вниз, как показано на рис. 2.7. Изменение располагаемого количества постоянного ресурса приводит к смещению кривой функции издержек в краткосрочном периоде. Увеличение объема постоянного ресурса приводит к сдвигу линии постоянного ресурса вверх. В результате каждая последующая кривая краткосрочных затрат будет касаться кривой С_L(Q) при всех больших значениях объема выпуска (на рис. 2.7 значения запаса ресурса ). Кривая долгосрочных затрат представляет собой огибающую для бесконечно большого числа кривых С_S(Q).

Рис. 2.7. Кривая издержек в долгосрочном и краткосрочном периодах

Графически средние издержки определяются тангенсом угла наклона луча, проведенного из начала координат к кривой совокупных затрат в точке, соответствующей выбранному объёму выпуска.

Определим средние значения долгосрочных издержек, разделив функцию издержек (2.12) на Q. Расчетная формула средних долгосрочных издержек примет следующий вид:

.

Расчетная формула средних краткосрочных затрат определяется так:

.

В полученном выражении первое слагаемое характеризует средние переменные затраты , а второе - средние постоянные затраты .

С учетом проведенного ранее разбиения интервала изменения объема выпуска на характерные участки:

рассмотрим взаимное расположение кривых совокупных и средних издержек, показанных на рис. 2.8.

Показатель степени характеризует поведение кривой средних долгосрочных затрат: если , то , поэтому кривая средних долгосрочных издержек является убывающей; если , то , поэтому функция средних долгосрочных издержек принимает постоянное значение, равное D; если , то , поэтому кривая средних долгосрочных издержек является возрастающей.

Рис. 2.8. Кривые средних и предельных издержек

Если , то кривая средних краткосрочных издержек является убывающей; однако такой случай возможен крайне редко; в остальных случаях кривая средних краткосрочных издержек является возрастающей.

При объеме выпуска , как следует из рис. 2.7, средние краткосрочные и долгосрочные издержки равны друг другу.

Графически предельные издержки определяются тангенсом угла наклона касательной к кривой издержек в точке, соответствующей выбранному объему выпуска. В соответствии с геометрическим смыслом кривые MC_L, MC_S изображены на рис. 2.8.

Кривые совокупных издержек в долгосрочном и краткосрочном периодах, показанные на рис. 2.7, приводят к выводу о том, что на интервале кривая краткосрочных издержек имеет меньший наклон, чем кривая долгосрочных издержек, поэтому на указанном интервале

.

На интервале кривая краткосрочных издержек имеет больший наклон, чем кривая долгосрочных издержек, поэтому на данном интервале

.

Наконец, при выполняется условие

.

Таким образом, при более экономичным является краткосрочный период, то есть для организации невыгодно изменять объемы затрат всех ресурсов производства, так как происходит относительная экономия постоянных издержек при расширении масштаба производства. При изменение объемов затрат всех ресурсов оказывается экономичнее.