Распределение редких событий (Пуассона)

Когда вероятности альтернатив неравны, т. е. р ≠ q, биномиальное распределение асимметрично. При очень малой вероятности ожидаемого события, исчисляемой сотыми или тысячными долями единицы, по сравнению с вероятностью q противоположного события распределение вероятности или частоты таких событий описывается формулой Пуассона.

Модель такого распределения получают на основе независимых испытаний при постоянной вероятности р наступления некоторого случайного события X.

Как известно, вероятность того, что в n испытаниях случайное событие наступит равно m раз, определяется формулой, выражающей функцию распределения вероятностей для биномиального распределения.

Примем теперь дополнительные условия, а именно, что вероятность р наступления случайного события в единичном испытании весьма мала, но число испытаний n весьма велико, n , а произведение nр (обозначим его λ) – число постоянное и не очень большое.

При таких дополнительных условиях на основе формулы биноминального распределения получим следующее выражение для распределения вероятностей случайной переменной X:

(3.3)

где: λ = np; р = λ/n.

Так как числитель первой дроби имеет m сомножителей, а в знаменателе стоит nm, каждый из сомножителей можно разделить на n. Получим:

(3.4)

При n предел любой дроби (1 – λ/n) = 1,

а предел (1 – λ/n)^n-m =e^-λ

При этих условиях:

(3.5)

Выражение (3.5) называется функцией распределения вероятностей в распределении Пуассона.

В этом выражении m – частота ожидаемого события в n испытаниях, е = 2,7183; параметр λ = nр равен математическому ожиданию или наиболее вероятной частоте события, , а также дисперсии .

Для практических расчетов, когда находят теоретические ординаты распределения n, т. е. численности распределения случайного события X, выражение (3.5) умножают на N – общее число наблюдений, вместо принимают экспериментальное среднее число наблюдаемых случаев. Формула для n будет:

(3.6)

Распределение Пуассона с возрастанием средней X приближается к биномиальному. Распределение Пуассона описывает многие явления в технике и биологии. В технике оно находит широкое применение при контроле качества продукции, для аппроксимации распределения дефектных изделий. В биологии оно применяется как модель распределения числа семян сорняков – примесей в пробных навесках при анализе семян, поврежденных вредителем. Оно описывает также распределение численности возобновления, когда размер элементарных учетных площадок очень мал или условия заселения, площади неблагоприятны, так что вероятность благоприятного исхода р мала.

Вопросы для самоконтроля

1 Что такое биномиальная кривая распределения? Какая общая формула является основой для биномиального распределения?

2 Для анализа какого вида случайных переменных используются биномиальное распределение и распределение Пуассона?

3 Что такое n в биноме (р + q)ⁿ?

4 Какими параметрами характеризуется биномиальное распределение?

5 Является ли биномиальное распределение дискретным или непрерывным?

6 Чем отличается распределение Пуассона от биномиального?

7 Какие параметры биномиального распределения можно получить с помощью треугольника Паскаля и формулы Я. Бернулли?

8 При каких условиях предпочтительнее применять распределение Пуассона?

9 При каких условиях распределение Пуассона приближается к биномиальному?

10 Какими параметрами характеризуется распределение Пуассона?

11 Что означают максимальное значение и крайние левые и правые значения на графике кривой биномиального распределения?

ТЕМА 4 Основные модели теоретических распределений

4.1 Прямоугольное (равномерное) распределение

4.2 Нормальное распределение

4.3 Логарифмически нормальное распределение