Математическое ожидание и дисперсия

Часто возникает необходимость охарактеризовать распределение случайной переменной с помощью одного–двух числовых показателей, выражающих наиболее существенные свойства этого распределения. К таким основным характеристикам распределения относятся математическое ожидание (стохастическая средняя), дисперсия и моменты.

Если случайная переменная X дискретна, то математическое ожидание Е(Х) этой случайной переменной определяется как сумма произведений отдельных значений, которые может принимать переменная, на соответствующие им вероятности:

(2.3)

Трактовка математического ожидания как некоторой стохастической (вероятностной) суммы вида (2.3), довольно обычная в руководствах по теории вероятности, грешит некоторой формальностью. Гораздо существеннее трактовка математического ожидания как стохастической (вероятностной) средней вида:

(2.4)

где в числителе каждое возможное значение х случайной переменной X взвешено по вероятности Р его возникновения, а знаменатель – сумма всех таких весов. Так как эта сумма весов (сумма всех вероятностей Р) всегда равна 1, стохастическая средняя (2.4) всегда тождественно совпадает со стохастической суммой (2.3).

Следовательно, математическое ожидание случайной переменной X с большей пользой может быть истолковано как арифметическая средняя всех возможных значений x_i этой переменной, взвешенных стохастически, т. е. по вероятностям Р_i их возникновения.

В выражении (2.3) суммирование распространяется на все возможные значения случайной переменной.

Если случайная переменная X непрерывна и принимает значения в интервале (с, d), то в определении математического ожидания, распространяемом на непрерывные переменные, сумма, естественно, сменяется интегралом. Таким образом:

(2.5)

где f(x) – плотность вероятности случайной переменной X.

Если X есть дискретная переменная, могущая принимать ряд значений, то математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда бесконечный ряд вида (2.3) абсолютно сходится. Точно так же, если X есть непрерывная случайная переменная, то математическое ожидание E(X) существует тогда и только тогда, когда интеграл (2.5) является абсолютно сходящимся.

Математическое ожидание – основная характеристика распределения. Оно информирует о том, каков средний уровень значений, принимаемых случайной переменной. Говоря точнее, если наблюдать случайную переменную X весьма большое число раз, то средняя арифметическая значений, принимаемых случайной переменной, была бы приближенно равной E(X). И это неудивительно. Более тщательный анализ выражения (2.5) показывает, что E(X) есть средняя арифметическая отдельных возможных значений случайной переменной, взвешенных по соответствующим им вероятностям. Именно поэтому вместо термина «математическое ожидание» часто применяют наименование «среднее значение случайной переменной».

Приведем два примера вычисления математического ожидания случайной переменной.

Пример

Случайная переменная X может принимать значения –
-1, 0 и +1 с вероятностями соответственно 0,1, 0,3 и 0,6. Тогда математическое ожидание случайной переменной X:

Пример

Непрерывная случайная переменная X принимает значения в интервале (0; 2), и ее функция плотности вероятности в этом интервале составляет . Требуется найти математическое ожидание этой случайной переменной. Применяя формулу (2.5), получаем:

Если математическое ожидание определяет средний уровень значений, принимаемых случайной переменной, то дисперсия есть характеристика степени расхождения этих значений. Дисперсия определяется, как математическое ожидание квадрата отклонений случайной переменной от ее математического ожидания. Таким образом, обозначив дисперсию через D²(X), имеем:

(2.6)

В некоторых случаях большое практическое значение имеет квадратный корень из дисперсии, называемый обычно средним квад-ратическим отклонением, или стандартным отклонением. Обозначая его через D(X), имеем:

(2.7)

Если X есть дискретная случайная переменная, то вычисление дисперсии сводится к следующему:

(2.8)

Причем суммирование распространяется на все возможные значения переменной.

Если X есть непрерывная случайная переменная с плотностью вероятности f(x), то для получения дисперсии необходимо вычислить интеграл:

(2.9)

Пример

Вычислить дисперсию случайной переменной X из примера 1 этого параграфа. Поскольку X есть дискретная переменная прибегаем к формуле (2.8) и, учитывая, что Е(х) = 0,5, получим:

Пример

Вычислить дисперсию случайной переменной X из примера 2 этого параграфа. Так как Е(х) = 4/3, то по формуле (2.9) имеем:

Во многих случаях вычисление дисперсии можно значительно упростить, применяя следующую формулу, справедливую и для дискретных, и для непрерывных переменных:

(2.10)

Согласно этой формуле дисперсия случайной переменной X равняется математическому ожиданию случайной переменной X² минус квадрат математического ожидания случайной переменной X. Распределение случайной переменной X² дается распределением переменной X. Поэтому, если X – дискретная переменная, Е(Х²) вычисляют по формуле:

(2.11)

Если же X – непрерывная переменная, то Е(Х²) вычисляют по формуле:

(2.12)

Пример

При помощи формулы (2.12) вычислить дисперсию случайной переменной X, которая принимает различные значения в интервале [0; 2] и функция плотности вероятности которой есть:

Вычислим математическое ожидание случайной переменной X²:

Поскольку из предшествующих расчетов известно, что Е (X) = 4/3, то получим:

Естественно, что полученный результат совпадает с результатом, найденным по формуле (2.9).

Моменты

Большое значение в математической статистике имеют так называемые моменты распределения случайной переменной. В математическом ожидании большие значения случайной величины учитываются недостаточно. Дополнительной числовой характеристикой случайной величины, которая детальнее характеризует ее, являются моменты различных порядков. Не вдаваясь в подробное изложение теории моментов, приведем определение двух основных типов моментов.

Начальным моментом k-го порядка случайной переменной X называется математическое ожидание k-ой степени ее: μ_k = Е(Х^k). Центральным моментом k-го порядка случайной переменной X называется математическое ожидание k-ой степени отклонения X от ее математического ожидания: . Если X – непрерывная случайная переменная, плотность вероятности которой есть f(х), то моменты μ_k и η_k вычисляют по формулам:

(2.13)

В этих формулах (с, d), как и ранее, обозначает интервал, в границах которого случайная переменная X меняет свое значение. Принимается, что моменты μ_k и η_k случайной переменной существуют тогда и только тогда, когда интегралы в формулах (2.13) являются абсолютно сходящимися. Если X – дискретная переменная, то для вычисления μ_k и η_k необходимо заменить интегралы соответствующими рядами, причем моменты существуют тогда и только тогда, когда эти ряды абсолютно сходятся.

Следует отметить, что математическое ожидание и дисперсия суть частные случаи моментов. Математическое ожидание Е(Х) есть первый начальный момент μ₁, а дисперсия D²(X) есть второй центральный момент η₂. В статистическом анализе большое значение имеют также центральные моменты третьего и четвертого порядков. Третьи центральные моменты служат для оценки степени скошенности распределения (асимметрия). О центральных моментах четвертого порядка говорят, что они измеряют степень сглаженности (эксцесс) кривой плотности вероятности.

Вопросы для самоконтроля

1 Каким образом можно представить распределение дискретной случайной переменной?

2 Дайте определение случайной переменной.

3 Дайте определение дискретной и непрерывной случайной переменной.

4 При каких условиях случайная переменная называется непрерывной?

5 Дайте определение математического ожидания и дисперсии.

6 Чему равно значение математического ожидания при одинаковой вероятности величин случайной переменной?

7 Могут ли две случайные величины обладать одинаковым математическим ожиданием и различной дисперсией? Приведите практические примеры.

8 Какова размерность среднего квадратического отклонения?

9 Моментам какого порядка соответствуют математическое ожидание и дисперсия? Приведите формулы.

10 Моментам какого порядка соответствуют степени скошенности распределения и степени сглаженности кривой плотности вероятности.

ТЕМА 3 Дискретные распределения

3.1 Биномиальное распределение и измерение вероятностей

3.2 Распределение редких событий (Пуассона)