Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Это уравнения вида: , где

коэффициентынекоторыедействительные числа.

Для нахождения частных решений уравнения составляется характеристическое уравнение

,

которое получается из исходного дифференциального уравнения заменой в нём производных искомой функции соответствующими степенями параметра , причем сама функция заменяется единицей. Характеристическое уравнение – алгебраическое ой степени поэтому имеет корней, действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные.

Общее решениелинейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами строится в зависимости от вида корней характеристического уравнения:

а) каждому действительному простому корню в общем решении соответствует слагаемое вида . Для дифференциального уравнения 2-го порядка это соответствует двум разным действительным корням. При этом общее решениелинейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

; (3.10.)

б) каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида . Для дифференциального уравнения 2-го порядка это соответствует двум одинаковым действительным корням. При этом общее решениелинейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

; (3.11.)

в) каждой паре комплексных сопряженных корней в общем решении соответствует слагаемое вида . Для дифференциального уравнения 2-го порядка это соответствует одной паре комплексных сопряженных корней. При этом общее решениелинейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет такой же вид:

. (3.12.)

ПРИМЕР 3.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

РЕШЕНИЕ. Составляем характеристическое уравнение

Его корни определяем по теореме Виета:

Следовательно, частные решения:

Общее решение:

ПРИМЕР 3.8. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях: .

РЕШЕНИЕ. Составляем характеристическое уравнение

Его корни:

Следовательно, его частные линейно независимые решения:

Общее решение:

Находим частное решение по начальным условиям.

Таким образом, частное решение по начальным условиям:

ПРИМЕР 3.9. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях:

РЕШЕНИЕ. Составляем характеристическое уравнение

Его корни:

Следовательно общее решение:

Находим частное решение по начальным условиям.

Таким образом, искомое частное решение:

ПРИМЕР 3.10. Найти общее решение дифференциального уравнения

РЕШЕНИЕ. Составляем характеристическое уравнение

Его корни:

Все корни действительные разные. Им соответствуют линейно независимые частные решения:

Следовательно, общее решение: