Метод вариации произвольных постоянных.

Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения -го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Для неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами общее решение однородного уравнения имеет вид: , где - частные решения однородного ДУ.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения находят в виде: , (3.26.)

То есть предполагается, что постоянные и являются функциями независимой переменной При этом функции находят из системы:

(3.27.)

ПРИМЕР 3.17. Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Находим общее решение однородного уравнения. Составляем характеристическое уравнение.

Его корни:

Следовательно

Находим общее решение неоднородного уравнения. Составляем систему согласно (3.27.).

Вычитаем 1-е уравнение из 2-го и

получаем:

Находим , подставив в 1-е уравнение.

Находим и .

Таким образом,

=

Сравнив с , заметим, что первые два слагаемых решения неоднородного уравнения, есть общее решение однородного уравнения. Последнее слагаемое есть частное решение исходного неоднородного уравнения: , в чем легко убедиться.

Подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

ПРИМЕР 3.18. Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с коэффициентом – функцией .

Находим общее решение однородного уравнения.

- Дифференциальное уравнение второго порядка не содержит Применяем замену: Получаем:

Следовательно

Находим коэффициенты . Составляем систему согласно (3.27.).

Записываем функции в и получаем общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.

Окончательно: где

Метод вариации произвольных постоянныхдля решениялинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Применяют в следующем порядке:

· записывают однородное линейное уравнение и

находят его решение

· заменяют постоянную функцией и записывают

· дифференцируют обе части последнего равенства

· подставляют и в исходное уравнение и получают: ;

· решают последнее уравнение и находят

· подставляют найденную функцию в уравнение, помеченное , и получаем искомое решение .

ПРИМЕР 3.19. Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Находим общее решение однородного уравнения.

Заменяем постоянную на функцию . Получаем: Продифференцируем обе части равенства:

Подставляем и в исходное уравнение.

Подставляем в уравнение, помеченное , и получаем общее решение: