Метод подбора частного решения по виду правой части.

Частное решение линейного неоднородного уравнения составляют для специальных видов правой части уравнения (3.13) методом неопределенных коэффициентов.

1. Правая часть имеет вид , (3.15.)

где - действительные числа.

Если ,то следует искать в виде (3.16.)

Если , то следует искать в виде (3.17.)

Если то следует искать в виде , (3.18.)

где А – неопределенный коэффициент, методика отыскания которого будет показана далее на примере.

2. Правая часть имеет вид

(3.19.)

Если то следует искать в виде

(3.20.)

Если то следует искать в виде

(3.21.)

Если то следует искать в виде

(3.22.)

3. Правая часть имеет вид . (3.23.)

Если то следует искать в виде

. (3.24.)

Если то следует искать в виде

. (3.25.)

ПРИМЕР 3.11. Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение

+

Находим общее решение однородного уравнения .Составляем характеристическое уравнение

Его корни: следовательно .

Составляем частное решение линейного неоднородного уравнения. . Его и его производные надо подставить в исходное ДУ и найти коэффициент . Для этого удобно делать записи в следующем виде: -3

-2 =2

1 .

.

Сравнив коэффициенты при , находим: .

Следовательно: .

Записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: .

ПРИМЕР 3.12. Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение

+

Находим общее решение однородного уравнения .

Составляем характеристическое уравнение

Его корни:

Следовательно

Составляем частное решение линейного неоднородного уравнения. (Здесь и в дальнейшем вместо будем записывать другие буквы, чтобы не запутаться в индексах.)

1

0

1

Искомое решение: +

ПРИМЕР 3.13. Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение

+

Находим общее решение однородного уравнения .

Составляем характеристическое уравнение Его корни:

Следовательно

Составляем частное решение линейного неоднородного уравнения. 0 0

-2

1

+

Получили:

Таким образом,

ПРИМЕР 3.14. Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение

+

Находим общее решение однородного уравнения .

Составляем характеристическое уравнение Его корни:

Следовательно

Составляем частное решение линейного неоднородного уравнения, учитывая, что один корень характеристического уравнения нулевой 0

1

1

Таким образом, +

ПРИМЕР 3.15. Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение

+

Находим общее решение однородного уравнения .

Составляем характеристическое уравнение Его корни:

Следовательно

Составляем частное решение линейного неоднородного уравнения, учитывая, что и аргумент косинуса в правой части уравнения также равен 3, то есть согласно (3.25.)

9 = ;

0

1

9 =

=

ПРИМЕР 3.16. Найти частное решение уравнения

При начальных условиях:

РЕШЕНИЕ. Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение

+

Находим общее решение однородного уравнения .

Составляем характеристическое уравнение Его корни:

Следовательно

Составляем частное решение линейного неоднородного уравнения, учитывая, что среди корней характеристического уравнения нет равного 5, то есть согласно (3.16.).

3 =

-4

1

=

Общее решение:

Находим частное решение по начальным условиям.

Вычтя 1-е уравнение из 2-го, получаем: 2 =

Следовательно, частное решение по начальным условиям: