Метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов.

. Следовательно решение записываем в виде ряда Тейлора

Находим коэффициенты ряда.

;

Видим, что далее коэффициенты повторяются.

Получили решение в виде бесконечного степенного ряда

Запишем первые пять членов ряда:

Вычисляем значения этой функции для заданных значений аргумента.

При получаем

Для вычисления взяты 4 члена ряда. Убедимся, что этого достаточно, то есть сумма отброшенных членов не превышает погрешности вычисления. Для этого рассмотрим остаток (считая первое слагаемое нулевым членом)

=

Заменяем неравенством

<

=

В фигурных скобках имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . Сумма членов такой прогрессии

Остаток < .

Следовательно, для вычисления значения функции достаточно взять четыре члена (считая нулевой).

При получаем +

При получаем

Таким образом, решение дифференциального уравнения:

	0,1	0,2	0,3	…
	1,1103	1,2428	1,3997	…

V.ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДАХ ИХ РЕШЕНИЙ.

При решении многих задач требуется найти функции , которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений вида: (5.1.)

где искомые функции,

- аргумент.

Система (5.1.), в которой левые части уравнений содержат производные первого порядка, а правые части производных не содержат, называется нормальной.

Система, в которой правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , называется линейной.

Решить (проинтегрировать) систему – значит определить функции

, удовлетворяющие системе (5.1.) и данным начальным условиям:

(5.2.)

Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению - го порядка, содержащему одну неизвестную переменную. Это достигается дифференцированием одного из уравнений системы и исключением из него всех неизвестных, кроме одного. Этот метод называется методом исключений.

Система(5.1.) решается следующим образом.

1) Дифференцируют по аргументу одно из уравнений системы, например, первое

2) Заменяют в полученном дифференциальном уравнении 2-го порядка производные их выражениями из (5.1.) и получают: (5.3.)

3) Из 1 – го уравнения системы(5.1.) выражают и подставляют в (5.3.). Таким образом исключается переменная .

Дифференцируют это уравнение. Заменив в нем аналогично предыдущему шагу, получают дифференциальное уравнении 3-го порядка:

, из которого исключают .

4) Продолжая дифференцировать и заменять переменные , получают дифференциальное уравнение -го порядка одной переменной: (5.4.)

Решив данное уравнение, находят =

5) Последовательно находят и записывают решение в виде системы

= ,

= , (5.5.)

= .

ПРИМЕР 5.1. Проинтегрировать систему

При начальных условиях:

РЕШЕНИЕ.

Дифференцируя по первое уравнение, получаем:

Подставляем в это уравнение функции и из исходной системы. Получаем:

Из первого уравнения системы получаем: и подставляем в предыдущее уравнение:

или - линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1- го порядка с постоянными коэффициентами .

Находим общее решение однородного уравнения.

Находим частное решение неоднородного уравнения по виду правой части. 1

2

1

Получили

Находим вторую переменную. =

Общее решение исходной системы:

Находим частное решение по начальным условиям.

Частное решение:

В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения, что позволяет найти решение системы. Этот метод называется методом интегрируемых комбинаций.