Нормальні напруження при чистому згинанні

Розглянемо випадок чистого згинання, коли в перерізі виникає тільки згинальний момент. Покажемо стержень до його деформування (рис. 2.11 а) та після навантаження згинальними моментами (рис. 2.11 б).

Спостерігаючи за деформацією ортогональної сітки, попередньо нанесеної на бічну поверхню балки до і після навантаження (рис. 2.11 а,

рис. 2.11 б), відзначимо, що подовжні лінії при чистому згинанні викривляються по дузі кола, а контури поперечних перерізів залишаються плоскими та перетинають подовжні лінії під прямими кутами. У стиснутій області (у даному випадку внизу) волокна коротшають, а в зоні розтягання (угорі) подовжуються. Існує поздовжній шар, довжина якого при чистому згинанні залишається незмінною. Цей шар називається нейтральним, його радіус кривизни позначимо .

Рисунок 2.11

Поперечний переріз балки перетинається з нейтральним шаром по прямій, яка називається нейтральною лінієюперерізу.

Відзначені обставини дозволяють ввести наступні гіпотези:

– при чистому згинанні дотримується гіпотеза плоских перерізів: усі поперечні перерізи стержня при чистому згинанні не викривляються, а лише повертаються один відносно одного навколо осі X;

– поздовжні волокна не тиснуть одне на одне;

– по ширині перерізу нормальні напруження не змінюються.

Логічно припустити, що в точках поперечного перерізу при чистому згинанні виникають тільки нормальні напруження, що приводять до інтегрального внутрішнього силового фактора – згинального момента .

Через відсутність поперечних сил у напрямку осі Y, очевидно, що в точках перерізу дотичні напруження відсутні.

Розглянемо прямолінійний стержень довільного поперечного перерізу площею з віссю симетрії Y при чистому згинанні (рис. 2.12 а), тоді вісь Y – головна центральна, а вісь X збігається з нейтральною лінією.

У перерізі з координатою z визначимо внутрішній згинальний момент (рис. 2.12 б). Момент дорівнює сумі моментів від розподілених внутрішніх зусиль.

Задача про визначення внутрішніх зусиль відноситься до класу статично невизначених задач, тому далі застосовуємо схему рішення таких задач.

Статична сторона задачі.Із шести рівнянь статичної рівноваги три рівняння

виконуються тотожно.

Виділимо елемент площі з координатами ( ) (рис. 2.12 в). Елементарна сила в осьовому напрямку, що діє на площадку dA дорівнює а результуюча сила знайдеться як

.

Рисунок 2.12

Елементарний момент сили щодо осей X і Y запишеться як та Відповідно згинаючі моменти: ; .

Таким чином, умови статики приймуть вигляд:

; ; (2.4)

; ; (2.5)

; . (2.6)

Відзначимо невідомі: нормальне напруження (величина та закон його розподілу за висотою перерізу); радіус кривизни нейтрального шару; положення нейтральної лінії в перерізі.

Геометрична сторона задачі. Розглянемо деформацію елемента довжиною . Нехай волокно належить нейтральному шару. Виділимо на відстані y від нього волокно (рис. 2.13).

Первісна довжина волокна , тому що волокно не деформується. Після деформування волокно ab перетворюється на дугу з радіусом кривизни та довжиною:

Рисунок 2.13

.

Визначимо відносну деформацію волокна :

.

Така залежність має місце для будь-якого волокна:

. (2.7)

Фізична сторона задачі.При чистому згинанні поздовжні волокна піддаються розтяганню − стисканню, тому закон Гука запишемо як

.

Після підстановки значення з виразу (2.7) маємо:

. (2.8)

Підставляючи (2.8) послідовно в рівняння (2.4), (2.5), (2.6), одержимо наступне:

1. . Таким чином, статичний момент площі , тому що модуль поздовжньої пружності та радіус кривизни r є ненульовими. Отже, нейтральна лінія при чистому згинанні проходить через центр ваги поперечного перерізу.

2. . Таким чином відцентровий момент інерції щодо центральних осей дорівнює нулю, тому осі Х, У є головними центральнимиосями інерції. При прямому згинанні силова лінія (вісь Y) перпендикулярна нейтральної лінії (вісь Х).

3.

,

звідси кривизна нейтрального поздовжнього шару визначається виразом:

, (2.9)

де – осьовий момент інерції перерізу, а EI_x – жорсткість стержня при згинанні.

Порівнюючи значення кривизни з рівнянь (2.8) і (2.9) одержимо:

.

Формула для визначеннянормальних напружень в довільній точці перерізу набуває вигляду:

. (2.10)

З отриманої формули випливає, що нормальні напруження по висоті перерізу змінюються лінійно. На рис. 2.14 показані розподіли нормальних напружень по висоті для різних за формою перерізів.

Максимальні напруження виникають у найбільш віддалених точках від нейтральної лініїпри , тобто .

Рисунок 2.14

Умова міцності при згинанні набуває вигляду:

. (2.11)

Ця умова використовується для розрахунку перерізів, що мають одну вісь симетрії (рис. 2.14 б). Для перерізів із двома осями симетрії (рис. 2.14 а), враховуючи, що – осьовий момент опору, зручніше використовувати умовуміцності при згинанні у вигляді:

. (2.12)

Коли поперечна сила не дорівнює нулю, відбувається скривлення поперечних перерізів, і гіпотеза плоских перерізів не дотримується. Як показують дослідження, при відношенні довжини стержня до висоти hпоперечного перерізу (що має місце для більшості балок) можна вважати, що поперечний переріз практично не скривляється, тоді формула (2.10) для визначення нормальних напружень при чистому згинанні справедлива і при поперечному згинанні.

Приклад.Визначити розміри різних форм поперечних перерізів, якщо згинальний момент в перерізі кНм, допустиме напруження при згинанні МПа.

З умови міцності (2.12) осьовий момент опору перерізу =500 см³.

Далі розраховуємо геометричні параметри перерізів:

1. Прямокутний переріз (рис. 2.15 а), для якого повинне задаватися відношення (візьмемо ). Осьовий момент опору см³ , звідки см. Висота перерізу см, площа поперечного перерізу см².

2. Прямокутний переріз з відношенням (рис. 2.15 б). Осьовий момент опору см³, звідси

см, см, см².

3. Круглий суцільній переріз діаметром d (рис. 2.15 в). Осьовий момент опору см³, звідси діаметр перерізу см; площа см².

4. Кільцевий переріз(рис. 2.15 г). Задаємо відношення діаметрів . Осьовий момент опору для цього перерізу см³.

Тоді см, см.

Площа перерізу см².

5. Двотавровий переріз(рис. 2.15 д). За ГОСТ 8239-89 підбираємо номер двотавра з найближчим більшим значенням осьового моменту опору до розрахункового. Так, для двотавра № 30а: см³, см².

Визначимо коефіцієнт перевитрати матеріалу як відношення окремих площ до площі раціонального поперечного перерізу (двотавр). Складемо таблицю (рис. 2.15), з якої робимо висновок, що раціональним є двотавровий переріз з найменшою витратою матеріалу.

Рисунок 2.15