Результаты предварительной обработки данных и

результаты промежуточных вычислений Таблица 2

Округляя расчетное значение h, принимаем ширину интер­вала h=2 Ом.

3. В качестве нижней границы первого интервала для удобства построения гистограммы выбираем не само значение полученного экспериментально отклонения 287,05 – 300 = - 12,95 Ом, а несколько меньшее число DR_1н = -13 Ом.

4. Определив нижнюю границу первого интервала DR_1н =
= - 13 Ом, найдем границы всех остальных интервалов (напри­-
мер = - 13 + 2 = - 11; ; = - 11 + 2 = - 9 и т. д.).

5. Подсчитаем число отклонений, попавших в каждый интервал, (частоты) и определим значение экспериментальной вероятности попадания отклонений в соответствующий интервал (частости): .

Все полученные данные и результаты дальнейших промежу­точных расчетов заносим (для удобства представления результа­тов) в табл. 2.

6. Выбрав (в соответствии с рекомендациями) масштаб по
осям, построим гистограмму опытного распределения (рис. 3).

Вид этой гистограммы (сплошные линии) позволяет с большой
уверенностью предположить, что закон распределения отклонений резисторов от номинала является нормальным.

Для окончательного принятия решения о виде закона распределения воспользуемся критерием согласия χ² (или критерием Пирсона).

Рис. 3. Гистограмма опытного распределения;--- - теоретического

нормального распределения с тем же числом интервалов

Для того чтобы использовать критерий согласия χ², продела­ем некоторые промежуточные расчеты, результаты которых так­же заносим в табл. 2.

7. Определяем нормированную нижнюю границу первого
интервала и нормированные верхние границы всех интервала по
формулам:

и .

8. Воспользовавшись табл. 3 [8] приложения, находим зна­чения нормированной интегральной функции нормального рас­пределения для нижней границы первого интервала и верхних границ каждого интервала Ф(t_iв). Определим теоретическое зна­чение вероятности попадания результатов в соответствующий интервал: .

9.Находим ту часть общего числа имеющихся результатов измерений, которая теоретически должна быть в каждом из ин­тервалов:

т_i = пР_i.

Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти результатов, то его в обеих гистограммах объединяют с соседним.

Число интервалов r, определенное в п. 1, соответствующим обра­зом изменяется (объединение интервалов при т_i<5 делается по той причине, что табличные значения χ²-распределения, которыми предстоит пользоваться, рассчитаны для разных степеней свободы k при условии, что все т_i ≥5).

Для рассматриваемой задачи следует объединить 11-й интер­вал с 10-м интервалом, что, и отражено в табл. 2. Следует обра­тить внимание на то, что решение об объединении интервалов можно принимать только после того, как для всех интервалов рассчитано число результатов, которое теоретически должно по­падать в каждый из интервалов, и если для каких-то интервалов это число оказывается меньше пяти (округлять расчетное число до целого значения не следует). Для иллюстрации степени различия гистограммы опытного распределения и гистограммы теоретического нормального рас­пределения с тем же числом интервалов, гистограмма теоретиче­ского распределения изображена на рис. 3 пунктирными ли­ниями (данные взяты из табл. 2).

11. Для каждого интервала определяем меру расхождения опытной и теоретической кривой распределения χ²:

.

Вычисляем значение критерия согласия χ²: ,

где - число интервалов группирования данных после объеди­нения, если таковое происходило.

12. Вычисляем число степеней свободы для χ²-распределения (или распределения Пирсона), которое определяется соотноше­нием: ,

где s — число независимых связей, наложенных на частости .

Числовое значение параметра s определяется видом теорети­ческого закона распределения, на соответствие которому прове­ряется опытное распределение. Для нормального закона s=3 и эти связи следующие для нормального закона распределения при­нимаем условия:

; ; (условие нормировки).

Таким образом, для рассматриваемой задачи с учетом объ­единения двух интервалов получаем: 11-1-3=7.

13. Выбираем доверительную вероятность Р_дов, с которой будем проверять согласие опытного распределения с теоретическим или, как говорят, выбираем уровень значимости критерия .

Уровень значимости g должен быть достаточно малым, чтобы была мала вероятность отклонить правильную гипотезу (ошибка первого рода), но не слишком малым, чтобы не увеличивать веро­ятность принятия ложной гипотезы (не совершить ошибку вто­рого рода). Для практического решения задачи определения со­гласия опытного распределения с выбранным теоретическим за­коном рекомендуется выбирать уровень значимости в интервале значений:

0,02 <g< 0,1 [5].

Для рассматриваемой задачи выбираем g=0,02 (т. е. Р_дов = 0,98).

14. По таблицам χ²-распределения (табл. 4[1] приложения) при уровне значимости g=0,02 и числе степеней свободы k=7 находим граничные значения χ²:

; .

15. Принимая во внимание, что , можно сделать вывод, что распределение опытных данных не противоречит нормальному закону, т. е. гипотеза о нормальности закона распределения отклонений резистора от номинального значения может быть принята.

Ответ.Закон распределения отклонений резистора от но­минального значения R=300Ом можно с вероятностью Р_дов=0,98 считать нормальным со средним квадратическим отклоне­нием S_DR=±5 Ом.

Рассмотренная в решении примера последовательность дей­ствий по применению критерия χ² для проверки согласия опыт­ного распределения с теоретическим входит как составная часть в общий алгоритм обработки результатов многократных прямых измерений при неизвестном заранее законе распределения.

Задача № 2.2 [1]

Условие задачи. Обработать результаты многократных прямых измерений тока, если они проведены одним и тем же прибором за достаточно малый промежуток времени. При измерении по­лучены следующие результаты (в мА):

10,07;10,10;10,15;10,16;10,17;10,20;10,40;10,13;10,12;10,08

Считать, что полученная совокупность результатов свободна от систематических погрешностей и подчиняется нормальному закону распределения.

Решение. Из условия задачи следует, что полученная сово­купность результатов представляет собой выборку равноточных нормально распределенных данных. Используя формулы для расчета случайных погрешностей [1] , находим решение.

1. Наиболее вероятное значение измеренной величины (оцен­ка действительного значения тока):

мА.

2. Оценка средней квадратической погрешности эксперимен­тальных данных:

мА.

3. В полученной совокупности экспериментальных данных седьмой результат I₇ = 10,40 мА существенно отличается от ос­тальных. Проверим, не содержит ли он грубую погрешность:

.

Зададим доверительную вероятность Р_дов= 0,95 и по табл.2[7] приложения найдем допускаемую величину β_г для выборки из 10-ти результатов при Р_дов= 0,95.

, следовательно, результат I₇ = 10,40мА содержит грубую погреш­ность и должен быть отброшен. Число результатов в выборке n' уменьшается до 9.

4. Уточняем значения и :

мА;

мА.

5. В оставшейся совокупности результатов следует проверить еще результат I₆ = 10,20 мА. При той же доверительной вероят­ности Р_дов = 0,95 для выборки из 9-ти результатов находим таб­личное значение β_г = 2,35. Определяем:

.

Поскольку , результат измерения I₆ = 10,20 мА должен быть оставлен.

6. Определяем СКП результата измерения (за результат изме­рения принимается уточненное значение Ī '):

мА.

7. Находим границы доверительного интервала для результа­та измерений. Поскольку число обрабатываемых результатов п' = 9 < 20, то при определении коэффициента t воспользуемся табличными значениями распределения Стьюдента (табл.1[6] приложе­ния). Задаем доверительную вероятность Р_дов= 0,95 и для вы­борки из 9 наблюдений находим t_p;n = 2,31.

Границы доверительного интервала для результата измерения:

мА.

8. Записываем результат измерения с указанием доверительной погрешности (соблюдая все правила метрологии при округлении значения погрешности и значения результата при окончательной записи результата измерений): мА; Р_дов= 0,95; п=9 или

10,099 мА<I_изм<10,163 мА; Р_дов= 0,95; п=9.

Ответ. I_изм = (10,131 ± 0,032)мА; Р_дов = 0,95; п = 9 или

10,099 мА < I_изм< 10,163 мА; Р_дов= 0,95; п =9.

Примечание. Обе записи результата соответствуют требованиям стандар­та и являются равнозначными.

Литература:

1.Эрастов В. Е. Метрология, стандартизация и сертификация: учебн. посо­бие. — М.: ФОРУМ, 2008. — 208 с. — (Высшее образование).

2.Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результа­тов измерений. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1985.325 с.

3.Селиванов М. Н., Фридман А. Э., Кудряшова Ж. Ф. Качество измерений: Метрологическая справочная книга. Л.: Лениздат, 1987. 342 с.

4. Маркин Н.С. Основы теории обработки результатов измерений: учеб. пособие. М: Изд-во стандартов, 1991. 176 с.

5. Рабинович С. Г. Погрешности измерений. Л.: Энергия, 1978. 286 с.

6. ГОСТ 8.207-76 Переиздание. Апрель 2006 г. «Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения». 126 с.

7.Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. 3-е изд. М., Наука, 1968. 324 с.