Операторные компонентные уравнения и схемы замещения идеализированных пассивных двухполюсников

Сопротивление

Соотношения между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах сопротивления устанавливаются выражениями:

Учитывая, что умножение функции времени на постоянное число соответствует умножению изображения функции на это же число, получаем:

Рис. 6.17 Операторная схема замещения сопротивления

Операторное входное сопротивление и операторная входная проводимость сопротивления определяется выражениями: Операторная схема замещения сопротивления приведена на рис. 6.17.

Емкость

Напряжение и ток емкости связаны между собой соотношениями

Используя теоремы дифференцирования и интегрирования, получаем

При нулевых начальных условиях они вырождаются в выражения

откуда находим операторное входное сопротивление и операторную входную проводимость емкости:

Операторным компонентным уравнениям при ненулевых начальных условиях соответствуют последовательная и параллельная схемы замещения емкости, содержащие независимый источник тока или напряжения (рис. 6.18 а, б). При нулевых начальных условиях независимые источники тока или напряжения, характеризующие начальный запас энергии в элементе, выключаются, и в операторной схеме замещения остается один элемент — операторное входное сопротивление или операторная входная проводимость емкости (рис. 6.18, в).

Рис. 6.18. Операторные схемы замещения емкости:

а – параллельная при ненулевых начальных условиях; б – последовательная при ненулевых начальных условиях; в – при нулевых начальных условиях

Индуктивность

Мгновенные значения тока и напряжения для индуктивности связаны между собой следующими соотношениями:

Применяя к этим выражениям теоремы дифференцирования и интегрирования, получаем компонентные уравнения индуктивности в операторной форме:

При нулевых начальных условиях эти уравнения примут вид

Используя эти выражения, определяем операторное входное сопротивление и операторную входную проводимость индуктивности:

Операторным компонентным уравнениям при ненулевых начальных условиях соответствуют последовательная и параллельная схемы замещения индуктивности, содержащие независимый источник тока или напряжения (рис. 6.19 а, б).

Рис. 6.19. Операторные схемы замещения индуктивности:

а – параллельная при ненулевых начальных условиях; б – последовательная при ненулевых начальных условиях; в – при нулевых начальных условиях

Используя операторные схемы замещения идеализированных пассивных элементов, можно получить операторную схему замещения произвольного участка линейной цепи или всей цепи в целом. С этой целью каждый идеализированный пассивный элемент должен быть заменен операторной схемой замещения, а токи и напряжения идеализированных источников тока и напряжения — представлены соответствующими операторными изображениями.

Используя операторную схему замещения цепи, можно с помощью любого из известных методов сформировать систему уравнений электрического равновесия в операторной форме, которая будет равносильна основной системе уравнений электрического равновесия цепи после коммутации.

Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на формировании операторных уравнений электрического равновесия цепей по их операторным схемам замещения, получил название операторного метода анализа переходных процессов.