Разложение периодической функции в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

.

(1)

Здесь - постоянная составляющая или нулевая гармоника; - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам

;

5.2. Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры

Рис. 5.1

гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

1. Нечетная симметрия: кривые, симметричные относительно оси абсцисс (Рис. 5.1).

Рис.5.2 Рис. 5.3

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству . В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

2. Четная симметрия: кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство ( рис.5.2). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

3. Косая симметрия: кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (рис.5.3). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .