Модель оптимального розподілу фінансових ресурсів між інвестиційними проектами

Розглянемо виробничу ситуацію, пов’язану з аналізом пропозицій відносно збільшення виробничих потужностей підприємств фірми. Для можливого розширення потужностей фірма виділяє фінансові ресурси розміром х, які необхідно розділити між проектами в такий спосіб, щоб одержати максимально можливий сумарний приріст випуску продукції.

Позначимо через x_і - розмір інвестицій, виділених під і-ий проект (/'= \,п\, де і - індекс проекту. Отже, має місце рівність:

х_х +х₂ +... + х_п=х. (8.5)

На основі попереднього аналізу встановлено, що приріст продукції внаслідок реалізації і-го проекту задається функцією Дх.).

Тоді сумарний приріст продукції фірми становитиме:

п

F(x₁,x₂,...x_n) = Y_if_i(x_i). (8.6)

і=\

Отже, наша задача полягає у заходженні таких значень х. >0(і= 1,гі), які задовольняють (7.5) і забезпечують максимум функції (7.6).

Позначимо максимальний сумарний приріст продукції, одержаний при розподілі інвестицій розміром х для перших к проектів, через F_k(x), причому

х = х₁ +х₂ +... + х_к, х. >0, i = l,k. Для визначення функцій F_k(x) побудуємо рекурентне рівняння за допомогою кількох етапів.

Почнемо з розподілу наявних засобів для першого проекту. Знайдемо максимальне значения цього приросту за формулою:

F_x(x) = maxj_fi (*)]= Л(х).

Переходимо до другого етапу розрахунків. Нам необхідно знайти оптимальний варіант розподілу інвестицій розміром х за умови, що вони виділені першому та другому проекту. Тут слід враховувати отриману найкращу ефективність для першого проекту. Припустимо, що на другий проект виділені інвестиції розміром х₂, які дають fiiхi) приросту продукції, а залишок (х-х₂) виділяється першому проекту, який дає Fi(х-х₂) приросту. Тоді максимальний приріст продукції, отриманий від оптимального розподілу всіх інвестицій між першим і другим проектами буде:

F₂ (х) = max Г/₂ (х₂) + F_x(х- х₂)].

Переходимо до третього етапу, на якому необхідно знайти оптимальний варіант розподілу інвестицій за умови, що вони виділяються першим трьом проектам разом.

Нехай на третій проект виділено х₃ одиниць коштів, які в свою чергу даватимуть для нього приріст продукції розміром /₃(х₃).

Наявний залишок (х-х₃) надамо першому та другому проектам, які

при оптимальному розподілі дають приріст F₂(x-x₃) грошових

одиниць. Отже, максимальний ефект, який отримаємо від розподілу інвестицій між першими трьома проектами буде:

F₃(x) = max[f₃(x₃) + F₂(x-x₃)].

Розглянемо загальний випадок розподілу інвестицій для перших к проектів. Нехай к-му проекту виділено х_к одиниць інвестицій, які забезпечать йому приріст продукції розміром f_k(х_k). Залишок інвестицій (х-х_k) віддамо першим (1-1) проектам і вони при оптимальному розподілі принесуть фірмі F_k_i(х-хk) приросту продукції. При цьому фірма отримає сумарний приріст продукції рівний:

F_k(x)=max f_k(x_k) +F_k__l[x-x_k)j. (8.7)

0<x<x

Отже, ми отримали рекурентне співвідношення (8.7), яке представляє собою рівняння Белмана для задачі (8.5) – (8.6).

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА