Определение скоростей точек тела

При плоскопараллельном движении

Задание К3

4.3.1. Примеры решения контрольного задания К3

Пример 1. Катушка катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути (рис. 4.5).

Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент времени = 2 м/с,

r = 0.6 м, R = 1 м.

Решение

Катушка совершает плоскопараллельное движение. Так как качение происходит без скольжения, то скорость точки Р касания катушки с неподвижной поверхностью , следовательно эта точка является мгновенным центром скоростей (МЦС). Вектор скорости точки А перпендикулярен АР и направлен в сторону качения катушки, а численное значение скорости пропорционально расстоянию от точки А до МЦС:

,

где

1,49 м.

Определим угловую скорость катушки

1,35 рад/с.

Так как скорости точек О и В катушки также пропорциональны их расстояниям до точки Р, то

0,81 м/с;

= 0,54 м/с.

Направление вращения катушки, а, следовательно, и направления скоростей точек В и О, определяются направлением вектора скорости по отношению к МЦС.

Пример 2. Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью = = 1 м/с.

Найти в положении, указанном на рис. 4.6, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 1,2 м, АС = ВС.

Решение

Стержень АВ совершает плоскопараллельное движение. Так как скорости точек А и В направлены параллельно соответствующим направляющим, вдоль которых скользят ползуны, то, восстанавливая из точек А и В перпендикуляры к скоростям этих точек, определим положение мгновенного центра скоростей стержня АВ – точка Р. Треугольник АВР является равнобедренным, следовательно, АВ = ВР = 1,2м.

Скорость точки А пропорциональна расстоянию от этой точки до точки Р: , где 2,08 м.

Вычислим угловую скорость стержня АВ

0,48 рад/с.

Скорость точки В определим по формуле

= 0,48·1,2 = 0,58 м/с.

Для определения скорости точки С найдем расстояние РС с помощью теоремы косинусов

1,59 м.

Тогда скорость точки С

= 0,76 м/с.

Пример 3.Кривошип ОА длиной r = 1 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с, приводя в движение шатун АВ длиной l = 4 м, как показано на рис. 4.7.

Определить скорость ползуна В, угловую скорость шатуна в двух положениях механизма, когда угол поворота кривошипа j = 0 и j = 90⁰.

Решение

Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. При этом , так как точка А принадлежит кривошипу ОА, совершающему вращательное движение. Скорость ползуна В параллельна направляющим. Численное значение скорости точки А

=2·1=2 м/с.

Найдем положение мгновенного центра скоростей, восстанавливая перпендикуляры к скоростям точек А и В из этих точек. При угле j = 0 (см. рис. 4.7,а) перпендикуляр к скорости и перпендикуляр к направлению пересекаются в точке В. Следовательно, точка В является в этом положении механизма мгновенным центром скоростей и . Это положение механизма называют «мертвым». Найдем угловую скорость шатуна

= 0,5 рад/с.

На рис. 4.7,а показано распределение скоростей точек шатуна.

При угле поворота кривошипа j = 90⁰ скорости и направлены параллельно, а перпендикуляры к ним пересекаются в бесконечности. Следовательно, в данный момент времени имеет место мгновенное поступательное распределение скоростей, то есть все точки шатуна АВ имеют одинаковые скорости, равные , при этом угловая скорость шатуна w_AB = 0 (рис. 4.7,б).

Пример 4. Кривошип ОА = 0,5м вращается с угловой скоростью w_0А = 10 рад/с и приводит в движение шатун АВ = 4 м.

Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С (АС = 2,5м), если угол поворота кривошипа j = 45⁰ и ОА ^ АВ (рис. 4.8).

Решение

Так как кривошип ОА совершает вращательное движение, то

Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. Найдем мгновенный центр скоростей для данного положения шатуна – точку Р на пересечении перпендикуляров к скоростям точек А и В, восстановленных из этих точек. Треугольник РАВ равнобедренный, при этом АВ = АР = 4 м.

Найдем угловую скорость шатуна АВ

1.25 рад/с.

Скорости точек В и С пропорциональны их расстояниям до МЦС:

,

где ВР = 5,65 м;

= 1,25·5,65 = 7,07 м/с;

, где СР = 4,72 м;

= 1,25·4,72 = 5,9 м/с.

4.3.2. Условие и варианты задания К3

Для тела, совершающего плоскопараллельное движение, в соответствии с заданными кинематическими характеристиками и геометрическими размерами элементов, определить угловые скорости и линейные скорости точек.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛитературЫ

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.– М.: Высшая школа, 1974.– 400 с.

2. Бутенин И.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Краткий курс теоретической механики. Т.1 : Статика и кинематика.– М.: Наука, 1985.– 240 с.

3. Яблонский А.А. Курс теоретической механики Ч.1 : Статика. Кинематика.– М.: Высшая школа, 1984.– 343 с.

4. Павловський М.А. Теоретична механіка.– Київ : Техніка, 2002.– 670 с.

5. Беломытцев А.С. Краткий курс теоретической механики. Статика и кинематика / Тексты лекций для студентов заочной формы обучения всех специальностей.– Харьков : НТУ «ХПИ», 2004.– 76 с.

6. Адашевский В.М., Анищенко Г.О., Тарсис Ю.Л. Общий курс теоретической механики / Учебное пособие для студентов заочной формы обучения.– Харьков : НТУ «ХПИ», 2005.– 108 с.

7. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1 : Статика и кинематика.– М.: Наука, 1990.– 670 с.