Определение эмпирических законов и графический анализ

Математическое моделирование физических, химических и технических процессов опирается на выявление функциональных связей между экспериментальными данными. Определение математического закона по набору точек является фундаментальной задачей эмпирического анализа. В практических исследованиях широко применяется аппроксимация эмпирических данных, позволяющая свести полученные измерения к каноническим математическим зависимостям.

Если экспериментально или аналитически задан дискретный набор точек и предполагается, что он описывается законом вида y = mx + c, построение прямой линии, максимально приближенной к большинству координат, эмпирически подтверждает наличие такой зависимости. Эта исследовательская методика носит академическое название определение закона. На основе построенного графика определяются основные константы системы: наклон графика (угловой коэффициент m) и точка пересечения с осью ординат (ордината пересечения c).

Экспериментальное подтверждение линейной связи: шкалы температур. Классическим примером аппроксимации линейной функциональной зависимости является сопоставление температурных шкал. Взаимосвязь между температурой в градусах Цельсия (°C) и градусах Фаренгейта (°F) задается табличным набором экспериментальных точек.

Таблица 1. Соотношение значений температуры по шкалам Цельсия и Фаренгейта

Для наглядного анализа полученных величин выбирается система координат с соответствующими масштабами осей (Рис. 4.5). Точки с координатами (10, 50), (20, 68), (40, 104) и последующие значения выносятся на координатную плоскость. Соединение точек формирует строго прямую линию. Это прямо подтверждает наличие линейной математической связи между единицами измерений температурных шкал Цельсия и Фаренгейта.

Рис. 4.5. Линейная зависимость между температурными шкалами Цельсия и Фаренгейта с иллюстрацией процессов интерполяции и экстраполяции

Интерполяция графических данных. Для практического нахождения значений переменных внутри известного диапазона измерений применяется методологический прием интерполяция. Если необходимо определить эквивалент температуры 55 °C по шкале Фаренгейта, выполняется геометрическое построение:

1. Из значения 55 °C на горизонтальной оси восстанавливается перпендикулярная линия AB до пересечения с трендом в точке B.
2. Из точки B проводится горизонтальный отрезок BD до вертикальной оси.
3. Точка пересечения D указывает на искомое эквивалентное значение: 55 °C строго соответствует 131 °F.

Аналогично осуществляется обратный процесс интерполяции. Для определения значения в градусах Цельсия, соответствующего 167 °F, строится горизонталь EF до пересечения с прямой графической зависимости в точке F. Опущенный перпендикуляр FG на ось абсцисс указывает на результат: 167 °F соответствует 75 °C.

Экстраполяция и границы экспериментального диапазона. В случаях, когда физический закон сохраняет свою силу за пределами фактически измеренного диапазона, применяется экстраполяция. График линейной зависимости продолжен штриховыми линиями в обе стороны (Рис. 4.5).

Геометрический анализ экстраполированных участков на Рис. 4.5 демонстрирует следующие важные результаты:
- Значение 0 °C на оси абсцисс точно соответствует 32 °F на оси ординат (ордината пересечения c = 32).
- Значение 230 °F на оси ординат соответствует 110 °C на оси абсцисс.

Таким образом, экстраполяция выступает валидным методом прогнозирования значений параметров системы за рамками интервала эмпирических наблюдений.

Практический пример: Определение закона разрушающего напряжения листовой меди. В материаловедении и механике сплошных сред исследованию подвергается зависимость прочностных характеристик материалов от температурных режимов. Ниже приведены результаты лабораторных испытаний по определению предельного разрушающего напряжения σ листовой меди при различных значениях температуры t.

Таблица 2. Экспериментальные данные зависимости разрушающего напряжения меди от температуры

Нанесение экспериментальных координат (70, 8.46), (200, 8.04) и последующих точек на координатную плоскость образует ниспадающую прямую линию (Рис. 4.6).

Рис. 4.6. Зависимость разрушающего напряжения листовой меди σ от температуры t

Поскольку аппроксимированный график представляет собой прямую, исследуемые физические величины подчиняются эмпирическому закону вида σ = at + b, где a — угловой коэффициент (наклон), а b — значение ординаты пересечения.

Расчет параметров уравнения зависимости. Наклон прямой a находится как отношение катетов прямоугольного треугольника ABC, построенного на прямой (Рис. 4.6):

a = AB / BC = (8.36 − 6.76) / (100 − 600) = 1.60 / (−500) = −0.0032

Точка пересечения экстраполированной прямой с вертикальной осью напряжения дает константу b = 8.68.

Таким образом, окончательное математическое уравнение эмпирического закона имеет вид:

σ = −0.0032t + 8.68

Аналитические расчеты на основе выведенного закона. С использованием полученной формулы можно выполнять инженерные расчеты без проведения дополнительных лабораторных тестов.

Расчет 1: Определение разрушающего напряжения при температуре t = 250 °C.

σ = −0.0032(250) + 8.68 = 7.88 Н/см²

Расчет 2: Определение температуры материала при заданном разрушающем напряжении σ = 7.54 Н/см².

Для проведения вычислений выполним алгебраическую перестановку элементов уравнения:

0.0032t = 8.68 − σ

t = (8.68 − σ) / 0.0032

Подставляя значение напряжение σ = 7.54 Н/см², получаем:

t = (8.68 − 7.54) / 0.0032 = 1.14 / 0.0032 = 356.3 °C

Применение методов интерполяции, экстраполяции и аналитического вывода эмпирических законов позволяет с высокой точностью прогнозировать поведение физических систем и материалов в широком спектре эксплуатационных условий.

Сведения об авторах и источниках:

Авторы: Джон Берд

Источник: Инженерная математика

Данные публикации будут полезны инженерно-техническим работникам, студентам и абитуриентам технических вузов и колледжей, а также всем, кому требуется практический математический аппарат для решения инженерных задач.