Тригонометрические формулы сложения и преобразование гармонических колебаний

В фундаментальной физике, электротехнике и теоретической механике гармонические колебательные процессы традиционно описываются тригонометрическими функциями. Понимание математического аппарата, лежащего в основе таких процессов, имеет ключевое значение для гармонического анализа, обработки сигналов и инженерного проектирования.

1. Теоретические основы: формулы сложения тригонометрических функций. Многие физические величины представляют собой гармонические колебания. К примеру, переменный электрический ток i может быть записан функциональной зависимостью i = 5 sin(ωt − 0.33) ампер. Аналогичным образом смещение тела x относительно фиксированной точки описывается гармоническим выражением вида x = 10 sin(2t + 0.67) м.

В данных выражениях аргументы (ωt − 0.33) и (2t + 0.67) называют составными углами, поскольку они представляют собой алгебраическую сумму или разность двух самостоятельных угловых величин.

Для вычисления и аналитического преобразования значений тригонометрических функций от суммы или разности углов A и B используются фундаментальные формулы сложения:

- sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
- sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B
- cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
- cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
- tg(A + B) = (tg A + tg B) / (1 − tg A tg B)
- tg(A − B) = (tg A − tg B) / (1 + tg A tg B)

Следует особо подчеркнуть фундаментальное тождественное правило: выражение sin(A + B) не равняется алгебраической сумме (sin A + sin B). Формулы сложения углов справедливо выполняются для абсолютно любых действительных значений переменным углов A и B, что легко доказательно подтверждается подстановкой соответствующих числовых значений.

2. Практические примеры применения формул сложения и тождественных преобразований. Применение теорем сложения позволяет упрощать составные выражения и доказывать важные тригонометрические тождества.

Пример 1. Раскрытие скобок и упрощение тригонометрических выражений:
а) sin(π + α) = sin π cos α + cos π sin α = (0)(cos α) + (−1)(sin α) = −sin α.
б) −cos(90° + β) = −[cos 90° cos β − sin 90° sin β] = −[(0)(cos β) − (1)(sin β)] = sin β.
в) sin(A − B) − sin(A + B) = [sin A cos B − cos A sin B] − [sin A cos B + cos A sin B] = −2 cos A sin B.

Пример 2. Доказательство тригонометрического тождества:
Докажем, что cos(y − π) + sin(y + π/2) = 0.

Раскроем первое слагаемое по формуле разности углов для косинуса: cos(y − π) = cos y cos π + sin y sin π = (cos y)(−1) + (sin y)(0) = −cos y.

Раскроем второе слагаемое по формуле суммы углов для синуса: sin(y + π/2) = sin y cos(π/2) + cos y sin(π/2) = (sin y)(0) + (cos y)(1) = cos y.

Следовательно, cos(y − π) + sin(y + π/2) = (−cos y) + (cos y) = 0, что и требовалось доказать.

Пример 3. Решение тригонометрического уравнения:
Решим уравнение 4 sin(x − 20°) = 5 cos x для значений переменного угла x в интервале от 0° до 90°.

Произведем раскрытие левой части по формуле синуса разности: 4 sin(x − 20°) = 4 [sin x cos 20° − cos x sin 20°]

Используя приближенные значения тригонометрических функций (cos 20° ≈ 0.9397, sin 20° ≈ 0.3420), получаем: 4 [(sin x)(0.9397) − (cos x)(0.3420)] = 3.7588 sin x − 1.3680 cos x.

Приравниваем полученное выражение к правой части исходного уравнения: 3.7588 sin x − 1.3680 cos x = 5 cos x.

Преобразуем полученное соотношение, собирая слагаемые с cos x в правой части: 3.7588 sin x = 5 cos x + 1.3680 cos x 3.7588 sin x = 6.3680 cos x.

Разделим обе части уравнения на cos x и на коэффициент 3.7588: (sin x) / (cos x) = 6.3680 / 3.7588 = 1.6942.

Поскольку (sin x) / (cos x) = tg x, получаем: tg x = 1.6942, откуда x = arctg 1.6942 = 59.499° (или 59°27').

Выполним проверку:
- Левая часть уравнения: 4 sin(59.499° − 20°) = 4 sin 39.499° ≈ 2.542.
- Правая часть уравнения: 5 cos 59.499° ≈ 2.542. Тождество подтверждено.

3. Метод гармонического синтеза: Преобразование a sin ωt + b cos ωt к виду R sin(ωt + α). В инженерных приложениях часто возникает задача сложения двух гармонических сигналов одинаковой частоты, но сдвинутых по фазе на 90 градусов.

Выражение R sin(ωt + α) описывает синусоиду с максимальной амплитудой R, периодом 2π/ω, частотой ω/2π и фазовым опережением (сдвигом фазы) относительно базовой функции R sin ωt на угол α.

Используя формулу сложения углов, функцию R sin(ωt + α) можно разложить следующим образом (полагая A = ωt, B = α):

R sin(ωt + α) = R [sin ωt cos α + cos ωt sin α] = R sin ωt cos α + R cos ωt sin α = (R cos α) sin ωt + (R sin α) cos ωt.

Если положить постоянные коэффициенты a = R cos α и b = R sin α, то выражение приобретает вид: a sin ωt + b cos ωt = R sin(ωt + α).

Таким образом, в результате сложения синусоидальной и косинусоидальной функций с одинаковой круговой частотой ω всегда образуется единая синусоидальная функция той же частоты.

Из введенных соотношений следует: cos α = a / R, sin α = b / R.

Рис. 3.67. Прямоугольный треугольник отношений постоянных величин a, b, R и фазового угла α

Из геометрических соотношений Рис. 3.67 по теореме Пифагора определяется искомая амплитуда: R = √(a² + b²).

Из определения тригонометрических функций фазовый угол α выражается формулой: α = arctg(b / a).

4. Расчетные примеры приведения линейных комбинаций гармоник к амплитудно-фазовой форме. Рассмотрим алгоритм применения метода фазовых преобразований на практических примерах.

Пример 1. Преобразование положительной линейной комбинации: Выразить 3 sin ωt + 4 cos ωt в форме R sin(ωt + α) и построить соответствующие графические зависимости.

Положим 3 sin ωt + 4 cos ωt = R sin(ωt + α) = (R cos α) sin ωt + (R sin α) cos ωt.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых гармонических функциях:
- При sin ωt: 3 = R cos α => cos α = 3 / R
- При cos ωt: 4 = R sin α => sin α = 4 / R

Поскольку значению cos α > 0 и sin α > 0 соответствуют исключительно положительные величины, угол α находится в первом координатном квадранте.

Рис. 3.68. Треугольник параметров для случая a = 3, b = 4

Определяем геометрические параметры по теореме Пифагора (Рис. 3.68): R = √(3² + 4²) = √25 = 5.

Находим начальную фазу α: α = arctg(4 / 3) = 53.13° = 0.927 радиан.

Таким образом, искомое эквивалентное выражение принимает вид: 3 sin ωt + 4 cos ωt = 5 sin(ωt + 0.927).

Рис. 3.69. Совмещенные графики гармонических функций y = 3 sin ωt, y = 4 cos ωt и результирующей кривой y = 5 sin(ωt + 0.927)

Как продемонстрировано на Рис. 3.69, две периодические функции одной частоты поддаются комбинированию посредством сложения ординат в графическом интервале, либо с помощью векторного сложения (метода фазовых векторов).

Пример 2. Преобразование комбинации со смешанными знаками:
Выразить 4.6 sin ωt − 7.3 cos ωt в стандартном виде R sin(ωt + α).
Положим 4.6 sin ωt − 7.3 cos ωt = R sin(ωt + α) = (R cos α) sin ωt + (R sin α) cos ωt.

Приравняем соответствующие коэффициенты:
- При sin ωt: 4.6 = R cos α => cos α = 4.6 / R
- При cos ωt: −7.3 = R sin α => sin α = −7.3 / R

В данном случае cos α > 0, а sin α < 0. Существует единственный координатный квадрант, где косинус положителен, а синус отрицателен — это четвертый координатный квадрант.

Рис. 3.70. Геометрическое построение для фазового угла четвертого квадранта (a = 4.6, b = -7.3)

Вычисляем результирующую амплитуду R по теореме Пифагора (Рис. 3.70): R = √[4.6² + (−7.3)²] = √(21.16 + 53.29) = √74.45 ≈ 8.628.

Определяем фазовый сдвиг α из тригонометрических соотношений: α = arctg(−7.3 / 4.6) = arctg(−1.5870) = −57.78° = −1.008 радиан.

Окончательный результат преобразования гармонического выражения: 4.6 sin ωt − 7.3 cos ωt = 8.628 sin(ωt − 1.008).

Применение описанных тригонометрических тождеств и метода приведения к моногармонической форме позволяет существенно упростить комплексный математический анализ колебательных систем в электротехнике, акустике и теории автоматического управления.

Сведения об авторах и источниках:

Авторы: Джон Берд

Источник: Инженерная математика

Данные публикации будут полезны инженерно-техническим работникам, студентам и абитуриентам технических вузов и колледжей, а также всем, кому требуется практический математический аппарат для решения инженерных задач.