Теорема про змiну кiлькостi руху матерiальної системи
Похiдна за часом вiд вектора кiлькостi руху системи матерiальних точок дорiвнює головному вектору всiх зовнiшнiх сил, дiючих на систему:
(13.6)
Кiлькiстю руху матерiальної системи називається вектор , рiвний сумi кiлькостей руху матерiальних точок, що входять в систему:
(13.7)
де mk - маса k-тої матерiальної точки, - її швидкiсть. Через те, що k = , де – радiус-вектор k-тої точки, проведений з початку iнерцiальної системи вiдлiку, то з (13.7) маємо:
(13.8)
де - маса матерiальної системи, – швидкiсть центра мас. З формули (13.8) зробимо висновок: кiлькiсть руху матерiальної системи дорівнює добутку маси всiєї системи та швидкості її центра мас. В проекцiях на нерухомi осi декартових координат векторне рiвняння (13.6) еквiвалентне трьом скалярним:
(13.9)
де
(13.10)
Ця теорема має декiлька наслiдкiв:
а) внутрiшнi сили безпосередньо не впливають на змiну кiлькостi руху матерiальної системи – вони можуть впливати на рух через зовнiшнi сили;
б) якщо головний вектор всiх зовнiшнiх сил, дiючих на систему, дорiвнює нулю, то вектор кiлькостi руху матерiальної системи залишається постiйним за величиною i напрямком:
де – початкове значення вектора ;
в) якщо проекцiя головного вектора всiх зовнiшнiх сил, прикладених до системи, на будь-яку нерухому вiсь дорiвнює нулю, то проекцiя кiлькостi руху матерiальної системи на цю вісь залишається постiйною:
Qx = Q0x = const,
де Q0x - початкове значення проекцiї Qx.
Рiвнiсть (13.6) можна записати i так:
(13.11)
де – кiлькiсть руху матерiальної системи в момент часу t, - кiлькiсть руху матерiальної системи в момент часу t0, – головний вектор зовнiшнiх сил, = Σ – головний вектор iмпульсiв зовнiшнiх сил.
Рiвнiсть (13.11) виражає теорему про змiну кiлькостi руху матерiальної системи в iнтегральнiй формi:
змiна кiлькостi руху матерiальної системи за промiжок часу [t0, t] дорiвнює головному вектору iмпульсiв всiх зовнiшнiх сил, прикладених до системи, за той же промiжок часу.
Векторне рiвняння (13.11) еквiвалентне трьом скалярним рiвнянням:
(13.12)
де Sxe, Sye i Sze - проекцiї головного вектора iмпульсiв всiх зовнiшнiх сил на осi координат; Qx, Qy, Qz i Q0x, Q0y, Q0z – значення проекцiй кiлькостi руху матерiальної системи в моменти часу t i t0 відповідно.
Теорему про змiну кiлькостi руху матерiальної системи в формi (13.11) або (13.12) широко застосовують в теорiї удару.
При розв’язаннi задач за допомогою теореми про змiну кiлькостi руху матерiальної системи корисно дотримуватись такого порядку:
1) показати на рисунку всi зовнiшнi сили;
2) вибрати систему координат;
3) записати теорему про змiну головного вектора кiлькостi руху в проекцiях на осi координат;
4) з одержаних рiвнянь визначити шуканi величини.
Теорема Ейлера
Сума головних векторiв об’ємних i поверхневих сил, а також векторiв секундних кiлькостей руху рiдини, яка протiкає через два перерiзи труби, дорiвнює нулю, якщо вектори секундних кiлькостей руху направленi у середину видiленого перерiзами об’єму:
(13.13)
де mc = ρ1v1S1 = ρ2v2S2 - секундна маса - маса рiдини, що протiкає за одиницю часу через перерiз площею S1 або S2;
-головний вектор об’ємних сил. Об’ємними називаються сили, якi дiють на всi частинки рiдини, розташованi як у серединi, так i на поверхнi розглянутого об’єму (наприклад, сили ваги частинок рiдини);
-головний вектор поверхневих сил. Поверхневими силами називаються сили, якi дiють на частинки рiдини, розташованi на зовнiшнiй поверхнi об’єма (наприклад, реакцiї стiнок труби);
ρ - густина рiдини.
При користуваннi теоремою Ейлера потрiбно:
1) показати на рисунку об’ємнi i поверхневi сили;
2) показати на рисунку вектори секундних кiлькостей руху рiдини (або газу), протiкаючої через два перерiзи, що обмежують розглядуваний об’єм рідини, при цьому вектори секундних кiлькостей руху треба направити всередину цього об’єму;
3) вибрати систему координат;
4) записати теорему Ейлера в проекцiях на осi декартових координат:
(13.14)
5) визначити шуканi величини.
Дата добавления: 2016-07-18; просмотров: 1639;