Теорема про рух центра мас системи матерiальних точок

Центр мас системи матерiальних точок рухається як матерiальна точка, маса якої дорiвнює масi матерiальної системи i до якої прикладенi всi зовнiшнi сили, дiючi на систему:

(13.1)

В проекцiях на осi декартових координат рiвнiсть (13.1) має вигляд:

(13.2)

Висновки теореми. За допомогою теореми про рух центра мас матерiальної системи можна розв’язувати:

а) прямi задачi, в яких заданi закони руху окремих матерiальних точок та їх маси, а шукають зовнiшнi сили;

б) оберненi задачi, в яких заданi закони руху всiх точок системи, крiм однієї, а визначається рух цiєї точки.

При розв’язуваннi задач корисно дотримуватись такої послiдовностi:

1) вибрати систему координат;

2) зобразити на рисунку всi зовнiшнi сили системи;

3) записати теорему про рух центра мас системи в проекцiях на осi декартових координат (рiвняння 13.2);

4) обчислити суму проекцiй всiх зовнiшнiх сил системи на осi декартових координат;

5) записати координати центрiв мас всiх тіл системи x_k, y_k, z_k, де k = 1, 2, ..., n; взяти похiднi за часом, знайти М , M , M за формулами:

(13.3)

6) виконавши пункт 5, записати диференцiальнi рiвняння руху центра мас;

7) визначити шуканi величини.

Якщо головний вектор зовнiшнiх сил дорiвнює нулю, то швидкiсть центра мас системи не змiнюється за величиною i напрямом, тобто центр мас системи рухається рiвномiрно i прямолiнiйно або знаходиться в спокої.

Якщо v_C = 0, то матерiальнi точки системи перемiщуються так, що

(13.4)

В проекцiях на осi декартової системи координат маємо:

(13.5)

Зауваження. Для закріплення матеріалу §13 (пункт 13.1) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 35.1 - 35.7, 35.16;

2) № 35.9, 35.10, 35.13, 35.14, 35.17 - 35.19;

3) № 35.12, 35.20, 35.21.

Рекомендується розв’язати також задачі № 9.10, 9.13, 9.15, 9.16 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.

Питання для самоконтролю

1. Сформулюйте теорему про рух центра мас системи матеріальних точок.

2. Запишіть рівняння теореми про рух центра мас системи матеріальних точок в проекціях на осі декартових координат.

3. Сформулюйте висновки теореми про рух центра мас системи матеріальних точок.

4. Яка послідовність розв’язування задач на використання теореми про рух центра мас системи матеріальних точок?

5. Якою є швидкість центра мас системи, якщо головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулю?

6. Як переміщуються матеріальні точки системи, якщо швидкість центра мас v_C дорівнює нулю?