Вільні коливання круглої мембрани

Для вивчення коливань круглої мембрани, защемленої по зовнішньому контуру, використовують полярні координати . У цьому разі шукана функція визначається з хвильового рівняння

,

де , а оператор Лапласа має вид

(3.1)

Тоді хвильове рівняння має вид:

, (3.2)

.

У разі вільних коливань мембрани радіуса зовнішнє розподілення навантаження відсутнє і функція , яка знаходиться з однорідного рівняння, має задовольняти граничні

(3.3)

та початкові умови

. (3.4)

Функцію відхилення точок мембрани від положення рівноваги шукаємо у вигляді

. (3.5)

Робимо припущення про існування розв’язку для круглої мембрани, як добутку двох незалежних функцій

.

Після підстановки у хвильове рівняння маємо

(3.6)

З останнього рівняння отримаємо 2 незалежних рівняння:

або (3.7)

або (3.8)

Розв’язок першого рівняння має вид

.

Оскільки розглядається кругла мембрана , то і розв’язок має бути періодичною функцією кута з періодом . Це можливо, коли стала дорівнює цілому числу, тобто

Після цього друге рівняння (3.8) набирає вигляду

(3.9)

Останнє рівняння, що виникає у багатьох різних задачах фізики дістало назву рівняння Бесселя, який дослідив його властивості. Останнє рівняння є рівнянням другого порядку і повинно мати два лінійно незалежних розв’язки, для яких прийнято спеціальні позначення , . Перше з них називається функцією Бесселя першого роду, а друге – функцією Бесселя другого роду (інакше функцією Неймана) n-го порядку (див рис. 3.1).

Про характер функцій, що є розв’язками останнього рівняння можна судити порівнюючи зображення у вигляді ряду по степеням аргументу функції Бесселя першого роду і звичайної функції, як :

; (3.10)

(3.11)

Аналіз функцій показує, що функції Бесселя досить близькі за своєю природою до відомих тригонометричних функцій.

а

б

рис. 3.1

Характерно, що всі функції другого роду при наближенні до нуля прямують у мінус нескінченність. Наприклад

(3.12)

Враховуючи, що необмежено зростає при наближенні до центра мембрани, амплітуди прогину мембрани представляють у вигляді

(3.13)

– деякі сталі.

Існують осесиметричні (відносно напряму ) і неосесиметричні ( ) коливання мембрани. Розглянемо осесиметричні коливання. Тоді

, (3.14)

де поки невідома довільна величина.

У відповідності з граничними умовами

, а (3.15)

Якщо обмежитись асимптотичним виразом для функції Бесселя

, (3.16)

одержимо

(3.17)

Нескінченний набір коренів (3.15) визначає нескінченний набір власних частот і форм коливань

(3.18)

Форми коливань визначаються з точністю до сталого множника. В останньому виразі для форм коливань круглої мембрани обмежились лише при запису кутової залежності (осесиметричні коливання). В загальному вигляді вираз для задовольнятиме рівняння Гельмгольца в полярних координатах, якщо замінити на .

Як і у випадку прямокутної мембрани, кожна власна форма коливань мембрани є певна сукупність стоячих хвиль, що характеризуються своїми вузловими точками (лініями). У даному разі такими лініями є вузлові кола та вузлові діаметри, що визначаються відповідно рівняннями

. (3.19)

Перше з цих рівнянь визначає кіл, концентричних з контуром мембрани. Радіуси цих кіл

(3.20)

Радіус збігається з радіусом мембрани. Друге рівняння з (3.19) визначає вузлових діаметрів мембрани

,

або

.

На рис 3.2 зображено деякі випадки розміщення вузлових ліній.

рис. 3.2

Зазначимо, що співвідношення нормальних частот мембрани не є ціле число, тобто вони не створюють гармонічний ряд. Тому мембрана через період основного тону у попередній стан не повертається. Звичайно можна створити такі початкові умови, коли в коливаннях мембрани буде лише одне гармонічне коливання.