Поздовжні хвилі у пружному стрижні (поздовжні коливання пружного стрижня)

Крім струни, ще однією одновимірною системою з розподіленими параметрами є стрижень.

Стрижень – фізичне тіло довгастої форми, в якому поперечний розмір набагато менший за довжину (D<<L, якщо, наприклад, стрижень циліндричної форми).

На відміну від струни стрижень має значну поперечну жорсткість. Розрізняють три типи коливань стрижня:

· повздовжні;

· крутильні;

· поперечні.

Розглянемо більш детально поздовжні коливання.

Будемо вважати, що всі поперечні перерізи стрижня x=const (рис.4.27) у процесі деформації залишаються плоскими і зміщуються паралельно один одному.

Відновлюючи сила в струні забезпечувалась за рахунок попереднього натягу. У випадку пружного стрижня така сила визначається внутрішніми пружними силами, що виникають при зміні відстані між частинками пружного тіла. В механіці деформованого твердого тіла ці сили характеризуються напругою σ, тобто величиною сили на одиницю площі. При коливаннях пружного стрижня припускаємо, що внутрішні напруги в кожному перерізі стрижня σ(х) рівномірно розподілені по його перерізу. Якщо відносне видовження стрижня , де - початкова довжина, а - видовження стрижня, то модуль пружності знаходиться з виразу

, (4.78)

причому - площа поперечного перерізу стрижня, - модуль Юнга.

Співвідношення (4.78) являє собою закон Гука, виражений через напругу та видовження за умови малих деформацій .

Рух точок стрижня у рамках прийнятих припущень можна описати функцією u(x,t), що характеризує зміщення точок стрижня відносно положення рівноваги.

У відповідності з принципом Д'Аламбера сили, що діють на елементарний відрізок стрижня довжиною dx (рис.4.28) будуть дорівнювати

рис.4.28

, (4.79)

де - густина матеріалу стрижня, а - елементарна маса одиничного елементу стрижня. Рівняння (4.79) можна привести до вигляду

(4.80)

Підставивши вираз (4.78) у формі в рівняння (4.80) отримаємо диференціальне рівняння руху елемента стрижня

(4.81)

де - деяка константа, що характеризує швидкість розповсюдження поздовжніх хвиль у стрижні.

Рівняння поздовжнього руху елемента стрижня за формою повністю збігається з рівнянням, що описує поперечні коливання елемента струни. Це дозволяє стверджувати, що його розв'язок співпадає з розв'язком, отриманим для диференціального рівняння вільних коливань струни.

Покажемо, крім того, що розв'язком рівняння (4.81) може бути сума двох функцій зі спеціальними аргументами:

(4.82)

Неважко переконатися, що вираз

, (4.83)

де А – деяка стала, також є розв'язком рівняння (4.81).

З'ясуємо фізичний зміст функцій (4.82). Розглянемо одну зі складових цієї функції, наприклад, .

В деякій фіксованій точці х=х₁ у момент часу t=t₁ ця складова має вид . Через деякий час , де - відстань від точки х₁ до точки ця складова

Тобто, збурений стан в стрижні, який спостерігається в точці х₁ в момент t₁, зберігається таким самим у точці з плином часу (рис.4.29).

рис.4.29

Отже, функція описує перенесення збурення вздовж стрижня у напрямку зростання х зі швидкістю с. Аналогічно, функція описує перенесення збурення в напрямку зменшення х з тією самою швидкістю с.

Фізичне явище, що описується такою математичною залежністю називається рухомою хвилею. При цьому аргументи функцій - і називають фазою хвилі, а сталу величину с – фазовою швидкістю.

Отже, функція (4.83) являє собою суму хвиль, що біжать у протилежних напрямках. На відміну від струни, де швидкість руху частинок струни напрямлена перпендикулярно до рівноважного положення, тут напрям поширення хвиль і рух елементарних частинок стрижня збігаються. Такі хвильові рухи називаються поздовжніми хвилями, на відміну від поперечних хвиль в струні, коли швидкість руху частинок струни напрямлена перпендикулярно до положення рівноваги, а хвильове збурення поширюється вздовж струни.

Визначимо хвильовий (комплексний) опір стрижня для поздовжніх хвиль у ньому.

Під хвильовим опором розуміють відношення внутрішньої сили в деякому перерізі до швидкості руху точки прикладання сили, тобто

(4.84)

Для хвилі

(4.85)

де - похідна по повному аргументу, а для хвилі

(4.86)

В загальному випадку значення хвильового опору несе інформацію і про напрям поширення хвилі. Така сама картина має місце для хвильового опору в струні.

Зауважимо, що добуток густини середовища на фазову швидкість хвилі характеризує хвильовий опір найрізноманітніших середовищ.

Розглянемо типові граничні умови для стрижня:

а) кінець стрижня (х=1) защемлений, що означає відсутність зміщення на кінці стрижня в певний момент часу, тобто

(4.87)

б) кінець стрижня (х=1) вільний, що означає відсутність напруг на кінці стрижня в певний момент часу, тобто

. (4.88)

Визначимо нормальні коливання стрижня довжини 1 за різними граничними умовами.

1. Кінці стрижня вільні:

.

Шукаємо розв'язок рівняння (4.72) у вигляді

. (4.89)

Підставляючи (4.89) в (4.81), отримаємо

(4.90)

Розв'язок рівняння (4.90) має вид

а (4.91)

(4.92)

З умови маємо А=0.

З умови отримаємо

або , або . (4.93)

Отже, при вільних кінцях стрижня нормальні частоти знаходяться з виразу і створюють гармонічний ряд, а форми коливань визначаються через .

2. Один кінець стрижня вільний, інший – защемлений:

Із загального розв'язку (4.82), з урахуванням граничних умов

знаходимо, що В=0, coskl=0, звідки

3. Обидва кінці стрижня защимлені:

Виконавши відповідні операції отримаємо

,

тобто нормальні частоти в першому і третьому випадках збігаються.