Глава 6. анализ результатов численного гидродинамического моделирования

6.1. Гидродинамическая часть задачи. Для большей общности постановки задачи, описанной в главе 5, добавим, что эффектами, осложняющими течение, выступают инерционные силы, организующие вращение потока в области входа. Движение может быть как ламинарным, так и турбулентным. Оно происходит в трубопроводе постоянного и переменного поперечного сечения. Предположим, что несжимаемая жидкость на входе в трубу имеет неизменную по сечению осевую скорость, нулевую радиальную и окружную, изменяющуюся по линейному закону (от нуля на оси до максимума у стенки). Как принято говорить, в таких случаях поток на входе в трубу закручен по закону твердого тела. Из-за наличия разности температур входящего в канал потока и стенки трубы течение является неизотермическим. При симметричных граничных условиях для скорости и температуры получающиеся стационарные распределения должны быть осесимметричными.

Процедура численного решения задачи состоит в последовательной обработке блоков, связанных с интегрированием первоначально тепловой, а затем и динамической части задачи. Решение строиться с использованием неравномерных сеток, конечноразностных схем, схем расщепления как по пространственным переменным (при расчете полных уравнений баланса импульса и тепла), так и по физическим процессам с последующим применением метода прогонки и установления, о которых сообщалось в главе 5. Аппроксимация производных осуществляется со вторым порядком точности относительно шагов в радиальном направлении, с первым порядком точности в осевом. При определении поля давления используется модифицированный подход Л.М. Симуни.

Детали использования маршевого метода решения системы определяющих уравнений сводятся к следующему. Она записывается в нестационарном виде. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока при проведении итераций не будет достигнута сходимость по трению и теплообмену с точностью до 0.01%.

Как известно, в рамках ламинарного течения система дифференциальных уравнений в приближении «узкого канала» постоянного поперечного сечения в цилиндрических координатах имеет вид:

; (6.1)

; (6.2)

. (6.3)

Численное интегрирование определяющих уравнений выполняется с использованием неявных конечно-разностных схем, реализованных на неравномерных сетках со сгущением узлов к стенке по логарифмическому закону. С этой целью в исходных уравнениях необходима замена переменных:

, (6.4)

где – параметр преобразования, обеспечивающий попадание необходимого числа точек разностной сетки в вязкий подслой. Заметим, что такой переход, конечно же, более важен в описании турбулентных течений, поскольку структура турбулентного пограничного слоя включает универсальную логарифмическую зону. Таким образом, в преобразованном пространстве расчет ведется на равномерной сетке, в то время как результат в физическом пространстве выдается на неравномерной сетке, представленной на рис. 6.1, 6.2:

Преобразованная таким образом система уравнений (6.1) – (6.3) примет вид:

; (6.5)

; (6.6)

, . (6.7)

В качестве примера подготовки уравнения движения к численной реализации выбран простой случай записи конечно-разностного аналога уравнения (6.6):

. (6.8)

Здесь верхний индекс указывает на величину на верхнем временном слое (см. рис. 6.3), Δt – шаг по времени; – шаг по оси х (L – длина канала, Xg – количество узлов разностной сетки вдоль оси х); – шаг по

оси η; — сеточные значения осевой скорости на верхнем временном слое; — соответствующие значения на нижнем временном слое; — сеточные значения радиальной скорости; – значение локального радиуса в j-ой точке

( ); . Ниже, на рис. 6.3, 6.4 изображены расчетная область и шаблон разностной сетки соответственно.

Таким образом, решение дифференциального уравнения (6.6) проводится по методике главы 5 на основе системы алгебраических уравнений. Данные системы имеют трехдиагональную матрицу с преобладающей главной диагональю. Такие системы решаются методом прогонки, которая является частным случаем метода Гаусса. Такие системы обычно записываются в каноническом виде:

(6.9)

Технология решения довольно проста, включает прямой и обратный ход, и подробно описана в специальной литературе. Искомые прогоночные коэффициенты имеют вид:

(6.10)

Из (6.10) видно, что для начала расчета формально требуется задать величины и , которые находятся из граничных условий ( находятся из граничных условий на стенке: ; находиться из граничных условий на оси: следовательно:

(6.11)

Отсюда

(6.12)

После того, как во всей расчетной области будет найдена осевая скорость радиальная скорость можно получить из конечно-разностного аналога уравнения неразрывности:

(6.13)

Отдельные результаты гидродинамических процессов. Как отмечалось выше, c целью выяснения достоинств метода, для оценки точности результатов должны привлекаться теоретические и опытные данные других авторов. Например, расчеты, выполненные в диапазоне изменений исходных параметров:

; ;

; .

показывают весьма удовлетворительное согласие с опытами на классе развивающихся течений (значки – данные Пфеннингера [14]).

Так, на рисунке 6.5 приведены зависимостей относительной осевой скорости по длине трубы в различных сечениях по радиусу (1 – y/R=0.1; 2 – 0.2; 3 – 0.3; 4 – 0.4; 5 – 0.6; 6 – 0.8; 7—1.0). При течении в канале постоянного поперечного сечения. Изотермический случай. Значками отмечены опытные данные, сплошной линией – результат численного расчета. Расчеты велись при Re = 10 1000, L = 60 180D. Рабочим телом является слабосжимаемый газ. Сравнение с опытными данными показывает, что алгоритм хорошо предсказывает развивающуюся картину изотермического течения в различных точках по радиусу.

Некоторые данные по учету переменности теплофизических свойств по всей длине канала даны на рисунке 6.6.

На рисунке 6.6 представлены графики изменений относительной осевой скорости по длине трубы в различных точках по радиусу для неизотермических течений рабочей среды. Здесь сплошными линиями изображено распределение скорости без учета

переменности теплофизических свойств, пунктирными – с учетом переменности теплофизических свойств. Из рисунков видно, что влияние переменности теплофизических свойств более заметно в области непосредственного входа в трубу. При максимальное отличие имеется на оси . Именно в этой части радиальные профили температуры более деформированы вследствие изменения молекулярных свойств рабочей среды.