Дискретной случайной величины, закон Пуассона.

Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

Р(Х=m)=С^m_np^mq^n-m

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

M(X)=np,

D(X)=npq,

Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р≤0,1), то для вычисления Р(Х=m) используют формулу Пуассона:

Р(Х=m)=Р_n(m)= e^-λ • λ^m , где λ=np

^{m !}

Тогда говорят, что случайная величина Х - распределена по закону Пуассона.

Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.

Задача№3.Составить закон распределения случайной величины Х-числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить M(X),D(X), σ(Х) этой величины.

Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.

Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

Р_n(m)= e^-λ • λ^m

^{m !}

Найдем λ=np=1000•0,002=2.

а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

Р₁₀₀₀(5)₌ e^-2 • 2⁵ ₌ 32•0,13534 _{= 0,0361}

^{5 ! 120}

б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.

Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р( ). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р₁₀₀₀(0)=1- e^-2 • 2⁰ _{= 1- e}^-2_{=1-0,13534≈0,865.}

^{0 !}