Дискретной случайной величины, закон Пуассона.

Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

 

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

 

M(X)=np,

 

D(X)=npq,

 

 

Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р≤0,1), то для вычисления Р(Х=m) используют формулу Пуассона:

 

Р(Х=m)=Рn(m)= e-λ λm , где λ=np

m !

Тогда говорят, что случайная величина Х - распределена по закону Пуассона.

Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.

 

Задача№3.Составить закон распределения случайной величины Х-числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить M(X),D(X), σ(Х) этой величины.

 

Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.

Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т.е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где

- «выпадения не пятерки».

Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.

 

 

Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1•(1/6)0•(5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3•(1/6)1•(5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3•(1/6)2•(5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1•(1/6)3•(5/6)0=1/216.

 

Т.о. закон распределения случайной величины Х имеет вид:

 

х
р 125/216 75/216 15/216 1/216

 

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

 

Найдем числовые характеристики случайной величины Х:

 

M(X)=np=3•(1/6)=1/2,

D(X)=npq=3•(1/6) •(5/6)=5/12,

Задача№4.Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных;

б) хотя бы одна бракованная.

 

Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

Рn(m)= e-λ λm

m !

Найдем λ=np=1000•0,002=2.

 

а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32•0,13534 = 0,0361

5 ! 120

б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.

Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р( ). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

0 !







Дата добавления: 2016-07-18; просмотров: 2918; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.022 сек.