Граничные условия в электростатическом поле

Выделим произвольную точку n, расположенную в электростатическом поле на по­верхности раздела двух диэлектриков с разными значениями диэлек­трической проницаемо­сти и (рис. 3)

Окружим точку n элементарной призмой, у которой высота бесконечно мала по срав­нению с линейными размерами основания. Применим к поверхно­сти призмы теорему Гаусса, при этом пренебрежем потоком вектора через боковые поверхности ввиду их малости. Тогда получим:

, или

, .

На границе раздела двух диэлектриков равны нормальные составляющие вектора электрического смещения .

Окружим выделенную точку n элементарным прямоугольником, высота которого бес­конечно мала по сравнению с его длиной (рис. 256б). Найдем значе­ние циркуляции вектора по периметру прямоугольника:

, или

, .

На границе раздела двух диэлектриков равны тангенциальные состав­ляющие вектора напряженности поля .

Разделим почленно вторые уравнения на первые и учтем, что , получим

или , откуда следует

― условие преломления линий поля на поверхности раздела двух диэлек­триков с различными значениями и диэлектрической проницаемо­сти( и ).

Если линии поля направлены нормально к поверхности раздела ( ), то

, .

Рассмотрим граничные условия на поверхности раздела диэлектрика с проводником.

Электрическое поле внутри проводника отсутствует ( = 0), а его поверх­ность явля­ется эквипотенциальной. На поверхности проводника бесконечно тонким слоем будут распо­лагаться свободные разряды с поверхностной плотно­стью . Лини поля в диэлектрике будут направлены нормально к поверхности проводника как к эквипотенциальной поверхности. Применяя рассуждения, аналогичные предыдущему примеру, получим:

, .