Элементы высшей алгебры
1.1.Матрицы и определители.
Матрицы. Пусть m и n – натуральные числа.
Матрицей размера m 
n называется прямоугольная таблица чисел 
из m строк и n столбцов:
, i = 1…m, j = 1,…,n.
Здесь m – число строк в матрице А; i – номер строки (1 ≤ i ≤ m ); n – число столбцов; j – номер столбца (1 ≤ j ≤ n); аij – элемент матрицы А, находящийся в i–й строке и j–м столбце. Матрицу А удобно обозначать (аij)mn. По матрице А можно построить транспонированную матрицу Ат, сделав строки матрицы А столбцами с теми же номерами.
Две матрицы А =(аij)mn и В = (bij)pq называются равными, если m = p,
n = q, aij = bij для всех значений i,j.
Матрица размера 1 × n называется матрицей-строкой, матрица размера m×1 называется матрицей-столбцом.Матрица А = 
называется квадратной порядка n, если число строк равно числу столбцов (m = n). Квадратная матрица Е порядка n называется единичной, если у неё на главной диагонали стоят единицы, а на всех остальных местах – нули:
.
Матрица Аt, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А.
Сложение матриц и умножение их на число. Пусть А = (аij) и
В = (bij) матрицы размера m×n.
Суммой матриц А и В называется матрица С, для которой
cij = aij + bij , (1)
где 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n (то есть, чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их соответствующие элементы).
Произведением матрицы А на число называется матрица А =
= (аij)mn (то есть, чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число).
Пример 1. Пусть А = 
В = 
.
Вычислить матрицу 4А + 5В - 2ВТ.
Решение. Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число. Чтобы сложить матрицы одинаковых размеров, нужно сложить одноименные элементы этих матриц, Вt = 
- матрица, транспортированная к матрице В. Тогда
4А + 5В – 2Вt = 
+ 
+ 
= 
.
Произведение матриц. Пусть А = 
и В = 
Произведение матриц существует, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Перемножаются матрицы А и В по правилу: i-я строка первой матрицы А умножается скалярно на j - й столбец матрицы В, и полученное число Сij записывается в j - й столбец на i - е место искомой матрицы С:
. (2)
Свойства произведения матриц:
1. 
2. 
Произведение матриц, вообще говоря, не коммутирует, т. е. 
не всегда равно 
.
Пример 2. Даны две матрицы:
Найти произведение АВ. Можно ли получить произведение ВА?
Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, поэтому произведение АВ определено. Умножая строку матрицы А на столбец матрицы В, по формуле (2) получаем
Произведение ВА не определено, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.
Целой положительной степенью АК (к > 1) квадратной матрицы А называется произведение к матриц, каждая из которых равна А.
Многочленом степени к (к – целое неотрицательное число) от квадратной матрицы А называется выражение вида
Пример 3. Найти P(A), если P(x) = x2 – 3x + 5 и 
.
Решение. В соответствии с определением многочлена от матрицы 
получаем P(A) = A2 –3A + +5E или
.
Определители.Определителем квадратной матрицы 2-го порядка называется число
.
Определителем квадратной матрицы 3-го порядка называется число
Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента аik определителя называется его минор, взятый со знаком (-1)i + k.
Свойства определителей:
- если поменять местами две соседние строки определителя, то он изменит знак;
- если две строки равны, то он равен нулю;
- если поменять местами строку и соответствующий столбец, то определитель не изменится;
- если все элементы некоторой строки умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число;
- если соответствующие элементы двух строк определителя пропорциональны, то он равен нулю;
- если каждый элемент некоторой строки определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме указанной, прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые, а во втором вторые слагаемые;
- при прибавлении к элементам любой строки соответствующих элементов какой-либо другой строки, умноженных на одно и то же число, величина определителя не изменится;
- определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.
Данные свойства можно сформулировать и для столбцов матрицы.
Пример 4. Вычислить определитель третьего порядка тремя способами: 1) по определению; 2) разложить по элементам 1-й строки;
3) преобразованием его с помощью свойств определителя:
Решение:
1. D = 1×6×2 + 2(-1)(-1) + 2×5(-4) – (-4)6×(-1) –2×2×2 -1×5(-1) = -53.
2. Раскладываем по элементам 1-й строки 
3. Умножая первую строку на (-2) и прибавляя ко второй, затем первую строку прибавляем к третьей, получаем
Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, находим
Обратная матрица. Матрицей, обратной квадратной матрице А, называется квадратная матрица А-1, удовлетворяющая равенствам
АА-1 = А-1А = Е,
где Е – единичная матрица.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Всякая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу
где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij матрицы А.
1.2.Системы линейных уравнений
Пусть дана система m линейных уравнений с nнеизвестными:
(4)
Эту систему можно записать в матричной форме: AX = B,
 |  |
где
Решением системы называется всякая матрица-столбец X, обращающее матричное уравнение AX = Bв тождество. Система называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет. Совместная система называется определенной, если решение единственное, и неопределенной, если она имеет бесконечно много решений. Система называется однородной, если ее свободные коэффициенты равны нулю.
Всякая квадратичная невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу. Найдя произведение А∙Х, замечаем, что систему уравнений (3) можно записать в виде А∙Х = В. Чтобы решить систему А∙Х = В матричным методом, умножим обе части этого равенства слева на А-1 и получим А-1 ∙ А∙Х = А-1 ∙ В, но А-1 ∙ А = Е, Е∙Х =Х, значит
Х = А- 1 ∙ В.
Правило Крамера. Если m = nиΔ = det A ≠ 0, то решение системы можно получить по формулам Крамера:
где Δ i (i = 1,2,…,n) – определитель, получаемый из определителя Δ заменой i‑го столбца на столбец свободных членов.
Две системы называются равносильными, если каждое решение одной является решением другой, т.е. у них множества решений совпадают. Следующие элементарные преобразования переводят систему в равносильную:
а) перемена местами любых двух уравнений;
б) умножение обеих частей любого уравнения на неравное нулю число;
в) прибавление к обеим частям любого уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на произвольное число.
Данные преобразования проще выполнять над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных переменных и свободных членов. Такая матрица называется расширенной матрицей системы:
(6)
Метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса, применим к любой системе линейных уравнений. Решая систему этим методом, преобразования совершаются не над уравнениями, а над расширенной матрицей. Это метод приведения расширенной матрицы системы к треугольному виду. Рассмотрим данный метод на примере.
Пример 7.Решить систему: а) средствами матричного исчисления; б) методом Гаусса; в) с помощью формул Крамера.
4x - 3y +2z = 9;
2x +5y - 3z = 4;
5x +6y - 2z = 18.
Решение:
1. Вычислим определитель системы: 
Разложим по элементам 1-й строки:
так как 
, то система имеет единственное решение.
Пусть А-матрица коэффициентов при неизвестных, Х-матрица – столбец неизвестных и В-матрица – столбец из свободных членов:
тогда 
Для нахождения обратной матрицы 
вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Обратная матрица определяется формулой (3)
Тогда
Итак, x = 2, y = 3, z = 5.
2. Составляем расширенную матрицу системы:
Умножим 1-ую строку на 
и 
и прибавим соответственно ко второй и третьей строке:
Умножим теперь вторую строку на 
и 
и прибавим соответственно к 1-й и третьей строке:
Умножим третью строку на 
и 8, прибавим соответственно к 1-й и 2-й:
3. Если , то система 
имеет единственное решение, которое можно найти по формуле (5).
Итак, 
Тогда 
Ответ: х = 2, у = 3, z = 5.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 482;
Поиск по сайту
Узнать еще
- IV.3. Элементы стратегии выживания человечества
- VI.II. Элементы складки
- А - решетчатая конструкция из бетонных элементов; б - пространственная георешетка; в - укрепление откоса георешеткой; 1, 2 - бетонные элементы; 3 - анкеры; 4 - тяжи анкеров
- Аксиомы (тождества) алгебры логики
- Активные и пассивные элементы электрических цепей. Закон Ома
- Анализ возможных последствий неадекватного поведения элемента на смежные элементы
- АППАРАТ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ
- Архитектурные элементы
Публикации по технике и механике
Публикации по биологии
Публикации по информатике
Публикации по строительству
Публикации по физике
Публикации по химии
Публикации по электронике
Публикации по искусству
Публикации по истории
Публикации по медицине
