Диффузия в поле упругих напряжений

Рассмотрим влияние градиента упругих напряжений на диффузию. Градиент потенциала создает поток атомов, который добавляется к концентрационному потоку в уравнении, где фигурирует полный поток.

Рассмотрим отдельную частицу, движущуюся в потенциальном поле . Градиент потенциала есть сила , действующая на частицу:

. (1.55)

Эмпирически установлено, что градиент потенциала или сила приводит к диффузионному перемещению атомов с некоторой скоростью, которая связана с силой следующим отношением:

, (1.56)

где - подвижность диффундирующего атома. Следует отметить, что в этом уравнение сила не равна массе, умноженной на ускорение. Здесь сила приводит к возникновению постоянной скорости вместо ускорения, так как атомы всё время меняют направлении е движения и поэтому не могут ускоряться под действием силы, как свободные частицы.

Подвижность атомов пропорциональна коэффициенту диффузии . Далее будет показано, что соотношение между ними имеет вид:

, (1.57)

где - постоянная Больцмана, а - абсолютная температура.

Поток, возникающий в однородной системе под действием , равен средней скорости частицы, умноженной на число частиц в единице объёма, т.е.

. (1.58)

Если градиент концентрации существует вдобавок к , то в первом приближении уравнение для потока есть сумма уравнений (1.1) и (1.58):

. (1.59)

Подставляя это уравнение потока в уравнение непрерывности (1.6), для постоянного значения получим:

. (1.60)

Чтобы найти при наличии градиента потенциала, надо решить это уравнение.

Рассмотрим вначале решение для очень малых времён.

Известно, что поле напряжений, возникающее вокруг внедрённого атома в твёрдом растворе, способствует его притяжению к дислокации. Поэтому в однородном пересыщенном сплаве возникает диффузионное движение избыточных атомов к дислокациям. При этом возникнет и концентрационная неоднородность. Скорость выделения на дислокациях будет расти благодаря наложению на дрейф в поле напряжений движения под действием градиента концентрации. Обозначим через - расстояние между внедренным атомом и ядром линейной или винтовой дислокации. Взаимодействие между ними в цилиндрической системе координат определяется потенциалами вида:

(для винтовой дислокации) (1.61)

(линейная дислокация) (1.62)

где и - константы.

Если сплав гомогенизирован при высокой температуре и закален, в результате чего он становится пересыщен, то начальное распределение для изолированной дислокации имеет вид

.

Теперь уравнения (1.60) можно записать как

. (1.63)

Начальный поток атомов к изолированной дислокации зависит как от , так и . Но, в отличие от , градиент потенциала не зависит от времени. При решении уравнения (1.63) учтём, что в однородном сплаве при , и, следовательно, , так что определяется только последним членом уравнения (1.63). Выражение для в цилиндрических координатах имеет вид

.

Если задается уравнением (1.62), то и . Если уравнением (1.61), то . Следовательно, диффузия отсутствует в упругом поле краевой дислокации и идёт в упругом поле винтовой. Если читатель знаком с теорией дислокаций, то этот вывод должен его поразить.

Для малых времен изменение концентрации в зависимости от времени таково, что градиент концентрации очень медленно достигает заметной величины, поэтому распределение растворенных атомов к дислокации можно удовлетворительно описать, предположив что . Для винтовой дислокации градиент упругого потенциала равен

.

Этот градиент заставляет растворенные атомы двигаться к дислокации со скоростью, которую можно определить как:

. (1.64)

Интегрируя это выражение от при до при , получим

. (1.65)

Объяснить полученное выражение можно следующим образом. Атомы, которые вначале находились на расстоянии от ядра дислокации, подходят к нему в момент времени , а другие растворённые атомы, находившиеся в начале в области , заняли места у . Поэтому, хотя остается равным нулю, в момент времени всё растворённое вещество, находившееся в области при , должно выделиться или сегрегировать у ядра дислокации.

Количество перемещённого вещества на единицу длины дислокации, к моменту определяется по формуле:

. (1.66)

Период, в течение которого это решение применимо, определяется объёмом, в пределах которого потенциал оказывает заметное воздействие на растворенные атомы. Точнее: тепловая энергия растворенного атома в решётке порядка , поэтому, когда становится настолько большим, что (т.е. потенциальная энергия частицы меньше тепловой), то влиянием потенциала можно пренебречь. Таким образом, можно определить эффективный радиус действия потенциала , на котором

. (1.67)

Таким образом, условие сохраниться дольше в области , где влияние велико по сравнению с областью . Эти выводы можно применить только по отношению к растворённому веществу, вначале находившемуся в районе . В момент времени, когда , появляются заметные концентрационные градиенты и требуется другой подход к задаче.

Значение для случая углерода в α-железе можно оценить по величине . Принимая , получим . При плотности дислокации порядка расстояние между ними составляет примерно . Даже при такой относительно высокой плотности дислокации уравнение (1.66) не выполняется после выделения небольшой доли растворённого вещества.

Чтобы изучать процесс выделения при более продолжительных временах, предположим, что действительное расположение дислокации можно заменить параллельными их рядами, расстояние между которыми такое же, как истинное. Поступая по аналогии с ранее рассмотренной задачей о кинетике выделений, проведем плоскости посредине между каждой парой дислокации и параллельно им. Каждая дислокация окажется в ячейке с «непроницаемыми» стенками. Задача сводится к нахождению в одной из этих ячеек. Рассмотрение было бы близко к сферическому случаю, если бы не появлялся потенциал вокруг дислокации.

Рассмотрим стадию выделения, на которой но . Чтобы рассчитать потоки внутри области , необходимо решить уравнение (1.63). Однако нас интересует в основном не , а скорость «откачки» растворённого вещества из пересыщенного раствора. Решение уравнения (163) относительно можно избежать, если известно, что каждый атом, входящий в область , будет втягиваться в ядро со все возрастающей скоростью. Другими словами, любой растворённый атом, попавший в область , будет «захвачен» потенциальным полем, которое необратимо толкает его к дислокации. Поэтому стоит только растворенному атому попасть в эту область, то он уходит из раствора, как если бы произошло выделение. Упрощение, таким образом, делается очевидным: задачу нахождения при можно обойти, выбрав специфическое граничное условие:

Теперь задача сводится к обычной диффузионной без всякого потенциала и может быть решена способом, аналогичным для сферических выделений.